材料力学5弯曲应力.ppt

第五章 弯曲应力,目录,第五章 弯曲应力,5-2 纯弯曲时的正应力,5-3 横力弯曲时的正应力,5-4 弯曲切应力,5-6 提高弯曲强度的措施,目录,5-1 纯弯曲,回顾与比较,内力,应力,目录,5-1 纯弯曲,弯曲时，截面上的分布内力系可以合成为剪力Fs 、弯矩M。,平面对称弯曲：梁有纵向对称面，外力作用在此面内，梁的变形对称于纵向对称面。,纯弯曲,梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲,梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲,5-1 纯弯曲,目录,5-2 纯弯曲时的正应力,一、变形几何关系,5-2 纯弯曲时的正应力,平面假设： 横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。,单向受力假设： 纵向纤维只承受单向拉、压，相互之间没有挤压。,（b）必然有一层纤维既不伸长，也不缩短，称为中性层。,内部变形,将梁视为无数平行底面的纵向纤维层（垂直纵向对称面） ，则：,（a）每层上的各条纤维伸、缩量相等。 （同层上的纤维条受力相同）,纯弯曲变形的特点：横截面绕中性轴产生相对转动。,中性层与横截面的交线为中性轴。,中性轴 z 垂直与梁的纵向对称面（加载平面）。,5-2 纯弯曲时的正应力,目录,建立坐标,(a),横截面内正应力的分布,此式不能用于求应力，未知。,(b),胡克定理,二、物理关系,中性轴过形心,截面对 z 轴的惯性矩,横截面上法向分布力系可以简化为 FN、My、Mz,dA,弯曲变形基本公式,EIz：截面抗弯刚度,yz为形心主轴,三、静力学关系,弯曲正应力公式,横截面上距中性轴为 y 的点的应力。,M横截面上的弯矩。,Iz横截面对中性轴 z 的惯性矩。,M、y 代绝对值，应力为拉应力或压应力由弯矩方向确定。,与中性轴距离相等的点， 正应力相等；,正应力大小与其到中性轴距离成正比；,中性轴上,正应力等于零,应力分布图,常见截面的 IZ 和 WZ,圆截面,矩形截面,空心圆截面,空心矩形截面,5-2 纯弯曲时的正应力,目录,5-3 横力弯曲时的正应力,目录,弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲,横力弯曲正应力公式,横力弯曲最大正应力,目录,5-3 横力弯曲时的正应力,细长梁的纯弯曲或横力弯曲,横截面惯性积 IYZ =0,弹性变形阶段,公式适用范围,弯曲正应力强度条件,1.等截面梁弯矩最大的截面上,2.离中性轴最远处,4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑,3.变截面梁要综合考虑 与,目录,5-3 横力弯曲时的正应力,利用强度条件，可以进行三方面强度计算。,（1）校核强度；,（2）设计几何尺寸；,（3）确定许可载荷；,解题思路：,（1）外力分析（一般要求反力）；,（2）内力分析（要画内力图）；,（3）应力分析与强度计算。,确定许可载荷 应先设定单位,解：,（1）作弯矩图，求最大弯矩。,（2）最大应力。,在固定端。,固定端截面弯矩为负，截面上半部受拉，下半部受压。,1.C 截面上K点正应力,2.C 截面上最大正应力,3.全梁上最大正应力,4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径,1. 求支反力,（压应力）,解：,例题5-1,目录,5-3 横力弯曲时的正应力,2.C 截面最大正应力,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,目录,5-3 横力弯曲时的正应力,3. 全梁最大正应力,最大弯矩,截面惯性矩,目录,5-3 横力弯曲时的正应力,4. C 截面曲率半径,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,目录,5-3 横力弯曲时的正应力,例题52、T字形截面铸铁梁受力及截面尺寸如图所示，已知材料的许用拉应力t =40MPa，许用压应力C =80 MPa ，该校核该梁的强度。,解：,（1）求反力,画弯矩图,3.5kN,13.5kN,（2）确定截面几何性质, 求形心的位置,求截面对形心轴z的惯性矩,Iz=7.64106mm4,Iz=7.64106mm4,正弯矩段：上压、下拉，最大拉压应力发生在C截面（M+max）,负弯矩段：上拉、下压，最大拉压应力发生在B截面（M-max）,梁上最大拉、压应力,例7-2,要求校核强度。,强度满足要求。,5-4 弯曲切应力,目录,分几种截面形状讨论弯曲切应力,一、矩形截面梁,1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力,2、切应力沿截面宽度均匀分布,关于切应力的分布作两点假设：,5-4 弯曲切应力,目录,根据微段静力平衡方程和切应力互等定理可以推导出横截面上距离中性轴为y的横线上的切应力为,Sz* 距中性轴为y的直线一侧的 面积对中性轴的静矩。,Fs 截面上的剪力；,Iz 截面的对中性轴z的惯性矩；,b 截面上承受切应力的宽度；,讨 论 1、沿高度方向呈抛物线分布； 2、中性轴上切应力最大； 3、梁上下表面处切应力为零。,矩形截面上的最大切应力为平均切应力1.5倍；,5-4 弯曲切应力,二、圆形截面梁,Fs,腹板是一狭长矩形，关于矩形截面的切应力的假设仍然成立。,只讨论腹板上的切应力,三、工字形截面,腹板上切应力近似均布， 且承受了整个截面上97%的剪力。,中性轴上,在整个截面上,解：,最大弯矩,最大正应力,最大切应力,各个截面的剪力,若l5h，则 max0.05 max,可见，最大切应力远小于最大正应力。,实心截面梁正应力与切应力比较,对于直径为 d 的圆截面,5-4 弯曲切应力,目录,（l 为梁的跨度）,实心截面梁正应力与切应力比较,对于宽为b、高为h的矩形截面,5-4 弯曲切应力,目录,（l 为梁的跨度）,对于细长梁，控制因素为正应力。一般满足了正应力强度条件，就满足切应力强度条件。,梁的跨度较短（l / h 5），弯矩小、剪力大的梁，例如在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）； 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力强度。 薄壁截面梁,有些情况必须考虑弯曲切应力,弯曲切应力强度校核,一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上，且,型钢可查表,是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩。,切应力强度条件：,梁上的最大切应力max,例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材料许用应力s=160 MPa，t=100 MPa。试选择工字钢型号。,2、内力分析确定Fsmax、Mmax,解 ：1、外力分析支反力,(-),3、按正应力强度条件选型钢,查表选32a工字钢,4、校核切应力,因此，设计梁的主要依据是弯曲正应力强度条件。,梁的合理设计可从以下几个方面考虑：,提高梁抗弯能力，也就是用尽可能少的材料，使梁承受尽可能大的载荷；或在载荷一定的情况下，减小最大应力，减小破坏的可能性。,1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）,2、选用合理的截面 (增大弯曲截面系数）,3、采用变截面梁,理论和实验证明：,5-6 提高弯曲强度的措施,1、合理安排梁的受力,（1）合理安排载荷,（2）分散载荷(从使用方案考虑),（3）调整支座位置（从设计角度）,(降低最大弯矩）,（1）合理安排载荷,1、合理安排梁的受力,(降低最大弯矩）,（2）分散载荷(从使用方面考虑),1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）,若：,（3）调整支座位置（从设计角度）,1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）,合理的支座位置应使最大正弯矩和最大负弯矩数值相等。,合理布置支座位置，使 M max 尽可能小。,移动支座后，可降低梁内的最大弯矩。,双杠,当人在两支座中点时，,当人在自由端点时，,合理的设计应使：,（1）在面积相等（即用材相等）的情况下，尽量增大弯曲截面系数。,2、选用合理的截面,即用最少的材料获取最好的抗弯效果。,矩形截面梁竖放比平放抗弯效果好。,（2）在满足所需弯曲截面系数的前提下，选择适当截面，尽量减少面积，以达到减轻自重节约材料的目的。,d=137,250000,3950,20b号 h200,250000,10400,b=72 h=144,250000,要求的Wz（mm3）,截面形状,所需尺寸（mm）,14800,截面面积（mm2）,采用关于中性轴对称的截面,采用关于中性轴不对称的截面,塑性材料,脆性材料,可调整各部分尺寸，使,（3）合理截面要符合材料的力学性能,理想情况：,3、采用变截面梁,以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。,从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁叫变截面梁。,