2018年高考数学二轮复习专题6解析几何第3讲定点定值存在性问题课后强化训练20171227119.doc

专题六第三讲 定点、定值、存在性问题A组1(2017天津津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是 (A)A直线B椭圆C圆D双曲线解析设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又1x21，所以1，即x2y5，所以点C的轨迹为直线故选A2(2017长春质检)过双曲线x21的右支上一点P，分别向圆C1：(x4)2y24和圆C2：(x4)2y21作切线，切点分别为M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为 (B)A10 B13 C16 D19解析由题意可知，|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21)，因此|PM|2|PN|2|PC1|2|PC2|23(|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)32(|PC1|PC2|)32|C1C2|313故选B3(2017山西质检)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，且|F1F2|2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|2|PF2|，则PF1F2面积的最大值是 (B)A1 B C D2解析|PF1|4a，|PF2|2a，设F1PF2，cos ，S2PF1F2(4a2asin )216a4(1)9(a2)2，当且仅当a2时，等号成立，故SPF1F2的最大值是故选B4(2017云南统检)已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线x3y0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且0，如果抛物线y216x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么| (B)A21 B14 C7 D0解析设双曲线方程为1(a0，b0)，直线x3y0是双曲线M的一条渐近线，又抛物线的准线为x4，c4又a2b2c2.由得a3设点P为双曲线右支上一点，由双曲线定义得6又0，在RtPF1F2中|2|282联立，解得|145已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为 (D)A B C D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x10，x20，|FA|x12，|FB|x22，x122x24，x12x22由，得k2x2(4k28)x4k20，x1x24，x1x24由，得xx220，x21，x14，45，k2，k6(文)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)则该椭圆的离心率的取值范围是 (C)A(，) B(，)C(，) D(，1)解析设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|PF1|2a|PF2|2a2c10，得到ac50，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以12，c，椭圆的离心率e1，且10)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM斜率的最大值为 (C)A B C D1解析设P(，t)，则F(，0)，则由|PM|2|MF|，得M(，)，当t0时，直线OM的斜率k0，当t0时，直线OM的斜率k，所以|k|，当且仅当时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，故选C7(2017河南洛阳统考)已知F1，F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则抛物线的准线方程为_x2_.解析将双曲线方程化为标准方程得1，抛物线的准线为x2a，联立x3a，即点P的横坐标为3a.而由|PF2|6a，又易知F2为抛物线的焦点，|PF2|3a2a6a，得a1，抛物线的准线方程为x28(2017南昌一模)已知抛物线C：x24y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点设直线l是抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，则的最小值为_14_.解析由题意知F(0,1)，所以过点F且斜率为1的直线方程为yx1，代入x24y，整理得x24x40，解得x22，所以可取M(22，32)，N(22，32)，因为lMN，所以可设l的方程为yxm，代入x24y，整理得x24x4m0，又直线l与抛物线相切，所以(4)24(4m)0，所以m1，l的方程为yx1.设点P(x，x1)，则(2x2，4x2)，(2x2，4x2)，(2x)28(4x)282x212x42(x3)214149(2017石家庄质检)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tanAMB2，则|AB|_8_.解析依题意作出图象如图所示，设l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，y24my40，y1y24m，y1y24，x1x21，x1x2m(y1y2)24m22tanAMBtan(AMFBMF)，2，2，y1y24m2，44m2，m21，|AB|AF|BF|x11x214m24810(文)已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点解析(1)O的圆心M(0,2)，半径r1，设动圆圆心P(x，y)，由条件知|PM|1等于P到l的距离，|PM|等于P到直线y2的距离，P点轨迹是以M(0,2)为焦点，y2为准线的抛物线方程为x28y(2)设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入到x28y中得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b，又因为x1x2y1y2x1x28bb216b4所以直线BC恒过定点(0,4)(理)(2017青岛检测)已知点F(1,0)，直线l：x1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离.(1)试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；(2)是否存在过N(4,2)的直线m，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分？解析(1)因为P到点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点，直线x1为准线的抛物线，其方程为y24x(2)解法一：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，依题意，得当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x4，由得y4与y1y24矛盾，不合题意当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y2k(x4)，联立方程组消去y，得k2x2(8k24k4)x(24k)20，(*)x1x28，解得k1此时，方程(*)为x28x40，其判别式大于零，存在满足题设的直线m且直线m的方程为：y2x4，即xy20解法二：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，依题意，得易判断直线m不可能垂直于y轴，设直线m的方程为x4a(y2)，联立方程组消去x，得y24ay8a160，16(a1)2480，直线与轨迹C必相交又y1y24a4，a1存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y2x4，即xy20解法三：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，得A(x1，y1)，B(x2，y2)在轨迹C上，有由得，yy4(x1x2)当x1x2时，弦AB的中点不是N，不合题意，1，即直线AB的斜率k1，注意到点N在曲线C的张口内(或：经检验，直线m与轨迹C相交)，存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y2x4，即xy20B组1如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.()求椭圆E的方程；()经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2解析()由题意知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以，椭圆的方程为y21()证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2从而直线AP与AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)22设椭圆E：1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q，证明：当a变化时，点P在某条定直线上解析(1)因为椭圆E的焦点在x轴上，焦距为1，所以2a21，解得a2故椭圆E的方程为1(2)设P(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P直线F2P的斜率kF2P故直线F2P的方程为y(xc)当x0时，y，即点Q坐标为(0，)因此，直线F1Q的斜率为kF1Q由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1化简得yx(2a21)将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上3(文)设点P是曲线C：x22py(p0)上的动点，点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.(1)求曲线C的方程；(2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解析(1)依题意知1，解得p所以曲线C的方程为x2y(2)由题意直线PQ的方程为：yk(x1)1，则点M(1，0)联立方程组，消去y得x2kxk10，得Q(k1，(k1)2)所以得直线QN的方程为y(k1)2(xk1)代入曲线方程yx2中，得x2x1(1k)20解得N(1k，(1k)2)所以直线MN的斜率kMN过点N的切线的斜率k2(1k)由题意有2(1k)解得k故存在实数k使命题成立(理)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(1,0)，离心率e，A、B是椭圆上的动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线OA与OB的斜率乘积kOAkOB，动点P满足， (其中实数为常数)问是否存在两个定点F1、F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求F1、F2的坐标，若不存在，说明理由解析(1)由题设可知：a又b2a2c2，b21，椭圆标准方程为y21(2)设P(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由得，(x，y)(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)，即xx1x2，yy1y2因为点A、B在椭圆x22y22上，所以x2y2，x2y2，故x22y2(x2x2x1x2)2(yy2y1y2)(x2y)2(x2y)2(x1x22y1y2)2222(x1x22y1y2)设kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率，由题设条件知kOAkOB，因此x1x22y1y20，所以x22y2222. 即1，所以P点是椭圆1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1、F2，则由椭圆的定义|PF1|PF2|为定值又因c因此两焦点的坐标为F1(，0)，F2(，0)所以存在两个定点F1(，0)，F2(，0)使得|PF1|PF2| 24(2016全国卷，20)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.()当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；()当2|AM|AN|时，求k的取值范围解析()设M(x1，y1)，则由题意知y10当t4时，E的方