厦门大学短学期acm班

厦门大学ACM班,2019/5/11,2,第四讲,递推求解,2019/5/11,3,先来看一个超级简单的例题:,有5人坐在一起，当问第5个人多少岁,他说比第4个人大2岁，问第4个人多少岁,他说比第3个人大2岁，依此下去，问第一个人多少岁，他说他10岁，最后求第5个人多少岁？,如果所坐的不是5人而是n人，写出第n个人的年龄表达式。,2019/5/11,4,显然可以得到如下公式:,化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2,2019/5/11,5,Fibnacci 数列：,即：1、2、3、5、8、13、21、34,2019/5/11,8,是不是这个,F(1)=2; F(n) = F(n-1)+n;,化简后： F(n) = n(n+1)/2 +1;,2019/5/11,9,例:（2050）折线分割平面,问题描述： 平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块? 样例输入 1 2 样例输出 2 7,2019/5/11,10,思考:如何用递推解决?,结论,F(n)=F(n-1)+4(n-1)+1,2019/5/11,11,另外一种结论:,Zn = 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n = 2 n2 n + 1,为什么?,2019/5/11,12,总结：递推求解的基本方法：,首先，确认：能否容易的得到简单情况的解？,然后，假设：规模为N-1的情况已经得到解决。,最后，重点分析：当规模扩大到N时，如何枚举出所有的情况，并且要确保对于每一种子情况都能用已经得到的数据解决。,强调： 1、编程中的空间换时间的思想 2、并不一定只是从N-1到N的分析,2019/5/11,13,问题的提出： 设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。,思考题：平面分割方法,2019/5/11,14,F(1)=2 F(n)=F(n-1)+2(n-1),简单分析,2019/5/11,15,在2n的长方形方格中,用n个12的骨牌铺满方格, 例如n=3时,为23方格，骨牌的铺放方案有三种(如图), 输入n ,输出铺放方案的总数,思考题（2046）：,2019/5/11,16,有1n的一个长方形，用11、12、13的骨牌铺满方格。例如当n=3时为13的方格（如图），此时用11，12，13的骨牌铺满方格，共有四种铺法。,输入： n（0=n=30）; 输出： 铺法总数,再思考题：,2019/5/11,17,仔细分析最后一个格的铺法,发 现无非是用11,12,13三种铺法,很容易就可以得出： f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3); 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,典型例题,分析过程：,2019/5/11,18,最后一个思考题（有点难度）,2019/5/11,19,分析过程（1）,设：F(n)表示n个人的合法队列，则： 按照最后一个人的性别分析，他要么是男，要么是女，所以可以分两大类讨论： 1、如果n个人的合法队列的最后一个人是男，则对前面n-1个人的队列没有任何限制，他只要站在最后即可，所以，这种情况一共有F(n-1);,2019/5/11,20,2、如果n个人的合法队列的最后一个人是女，则要求队列的第n-1个人务必也是女生，这就是说，限定了最后两个人必须都是女生，这又可以分两种情况：,分析过程（2）,2019/5/11,21,2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队列，则显然后面再加两个女生，也一定是合法的，这种情况有F(n-2);,分析过程（3）,2019/5/11,22,2.2、但是，难点在于，即使前面n-2个人不是合法的队列，加上两个女生也有可能是合法的，当然，这种长度为n-2的不合法队列，不合法的地方必须是尾巴，就是说，这里说的长度是n-2的不合法串的形式必须是“F(n-4)+男+女”，这种情况一共有F(n-4).,分析过程（4）,2019/5/11,23,结论：,所以，通过以上的分析，可以得到递推的通项公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-4) (n3) 然后就是对n=3 的一些特殊情况的处理了，显然： F(0)=1 (没有人也是合法的，这个可以特殊处理，就像0的阶乘定义为1一样) F(1)=1 F(2)=2 F(3)=4,2019/5/11,24,不容易系列之(3) LELE的RPG难题 有排成一行的个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色求全部的满足要求的涂法.,附加题（看看效果）：,2019/5/11,25,某人写了n封信，还有n个信封， 如果所有的信都装错了信封， 求共有多少种可能的情况？,附加题：1465不容易系列之一,2019/5/11,26,分析思路：,1、当N=1和2时，易得解，假设F(N-1)和F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况：,4、后者简单，只能是没装错的那封和第N封交换信封，没装错的那封可以是前面N-1封中的任意一个，故= F(N-2) * (N-1),3、前者，对于每种错装，可从N-1封信中任意取一封和第N封错装，故=F(N-1)*(N-1),2、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装,