向量组与矩阵的秩（1）ppt课件

2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,1,华南农业大学理学院应用数学系,线性代数,多媒体教学课件,Linear Algebra,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,2,第2.3节 向量组与矩阵的秩,如何判断向量组是否线性相关？,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,3,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,4,定义2.6 矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵 A的秩(rank),记为R(A).,则称A为满秩矩阵;,否则，称A为降秩矩阵. 另外，零矩阵的秩为0.,对n阶方阵, 如果,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,5,如果矩阵A中有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子 式都为0，则矩阵A的秩等于r.,例,求矩阵的秩,解,在A中，容易看出一个2阶子式,A的三阶子式只有一个,经计算可知,因此R（A）=2。,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,8,推论2.1 任意m(mn)个n维向量线性相关. （注：由于没有m阶子式，故R(A)m）,推论2.3 n 个n维向量线性无关（相关）的充要条件 是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,9,可验证: R(A)=2,这里A的2阶子式,因此,包含D的两个向量,定理2.5 矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r 个行 向量线性无关，且任意r+1个行向量（如果存在）线 性相关。,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,10,有没有更简单的方法来计算矩阵的秩？,实际上我们有：矩阵的初等变换并不改变矩阵的 秩，因为初等变换不改变行列式是否为零的性质。 因此，可以将矩阵通过初等变换先化成行阶梯型 矩阵，就可较快求出矩阵的秩。,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,11,定义2.7,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,12,例如,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,13,定义：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元1所在列的其它元素都为零的行阶梯型矩阵称为行最简矩阵。,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,14,例2.6 计算前面矩阵A的秩.,解：对系数矩阵A进行初等行变换：,容易看出上述行阶梯形矩阵的秩等于2, 因此R(A)=2.,定理2.6 矩阵A的秩等于A经过初等行变换所得行阶梯形矩 阵的非零行的行数。,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,15,定义 2.8 设有向量组T, 如果:,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,16,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,17,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,18,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,19,定理2.8 设有向量组T, 如果：,一个向量组的最大无关组一般不是唯一的，但由引理2.1可 以保证它们都含有相同个数的向量.,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,20,练 习,1.,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,21,2. 设矩阵,求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。,解,对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,22,而三个非零行向量的非零首元在1、2、4三列， 故 a1, a2, a4 为列向量组的一个最大无关组。,知R(A) = 3,故列向量组的最大无关组含3个向量。,这是因为,线性表示，,把 A 再变成行最简形矩阵。,2019/5/11,Spring 2010, 17ppt,24,3.,求A 的列向量组的一个最大无关组及A 的其余列向量用它们线性表示的表达式。,解,对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。,唯一