曲线的凹凸性及曲率ppt课件

,曲线的凹凸性及曲率,1、函数曲线的凹凸性与拐点,2、函数曲线的渐近线,3、复杂函数的作图,4、函数曲线的曲率,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?,定义 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的,一、（一）曲线的凹凸性与拐点,曲线凹凸的判定:,定理 设函数 在区间 内存在二阶导数，,(2)若 时，恒有 ，则曲线 在 内凸的,(1)若 时，恒有 ，则曲线 在 内凹的；,求拐点的一般步骤：,令 ，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；,求函数的二阶导数 ；,对步骤求出的每一个点，检查其左、右邻近的 的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点,练习. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上是凹的,是凸的 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,二、 渐近线,2019/5/12,13,曲线渐近线的分类,注意：只有当函数的定义域是无穷区间时， 其曲线才有可能存在水平渐近线,解 因为 ，所以 是曲线的水平渐近线,又因为5是 的间断点,且 ，所以 是曲线的铅垂渐近线,例 求曲线 的水平渐近线 和铅垂渐近线.,例 求曲线 的水平渐近线和铅垂渐近线.,解 因为 ，所以 是曲线的水平渐近线,又因为1和-1是 的间断点，且 ， ，所以 和 是曲线的铅垂渐近线,三、复杂函数图形的描绘,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性及周,例3. 描绘,的图形.,解: 1) 定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点）,4),四、平面曲线的曲率-,曲线的弯曲程度决定于,描述曲线在一点的弯曲程度,4、1 曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 取弧段,对应切线转角,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,曲率K 的计算公式,例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .,解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,抛物线,例,上哪一点处的曲率最大？,解：根据曲率的计算公式,由,代入公式得,若 a, b 给定，则,时，曲率 K 最大，,即,即抛物线的顶点处曲率最大,4、2 曲率圆与曲率半径,设 P 为曲线 C 上任一点 ,在点,在曲线,把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 P 处的,曲率圆,( 密切圆 ) ,P 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上的凹凸分界点,3. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,最值点应在极值点和边界点上找 ;,4. 连续函数的最值,水平渐近线 ; 垂直渐近线;,1）曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步