（浙江专版）2020版高考数学复习第二章不等式第三节绝对值不等式学案（含解析）.docx

第三节 绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x|a与|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|a|x|a(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.小题体验1不等式|2x1|3的解集为_答案：x|x1或x22不等式|x1|x2|1的解集为_答案：3函数y|x4|x4|的最小值为_解析：|x4|x4|(x4)(x4)|8，即函数y的最小值为8.答案：81对形如|f(x)|a或|f(x)|a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误2绝对值不等式|a|b|ab|a|b|中易忽视等号成立的条件如|ab|a|b|，当且仅当ab0时等号成立，其他类似推导小题纠偏1设a，b为满足ab0的实数，那么()A|ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解析：选Bab0，|ab|a|b|ab|.2若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,4题组练透1若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则实数a_.解析：由|ax2|3，得1ax5，x，a3.答案：32解不等式|2x1|2x1|6.解：法一：当x时，原不等式转化为4x6x；当x时，原不等式转化为26，恒成立；当x时，原不等式转化为4x6x.综上知，原不等式的解集为.法二：原不等式可化为3，其几何意义为数轴上到，两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x或x时，到，两点的距离之和恰好为3，故当x时，满足题意，则原不等式的解集为.3已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解：(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为.所以|f(x)|1的解集为.谨记通法解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解典例引领(2019成都外国语学校模拟)已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(2x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|1，a0，求证：f.解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|当x3时，由3x28，解得x；当3x时，x48无解；当x时，由3x28，解得x2.所以不等式f(2x)f(x4)8的解集为.(2)证明：f等价于f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因为|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0，所以|ab1|ab|.故所证不等式成立由题悟法证明绝对值不等式主要的3种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明(3)转化为函数问题，数形结合进行证明即时应用已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1.证明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1.典例引领已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即.又min，所以，解得a2.所以a的取值范围是2，)由题悟法(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法(2)f(x)a恒成立f(x)maxa.f(x)a恒成立f(x)mina.即时应用已知定义域为R的奇函数f(x)x|xm|.(1)解不等式f(x)x；(2)若对任意的x1，x21,1a，恒有|f(x1)f(x2)|2成立，求实数a的取值范围解：因为f(x)x|xm|是定义域为R的奇函数，所以m0，即f(x)x|x|.(1)由x|x|x，得或即x1或1x0，所以不等式f(x)x的解集为1,01，)(2)f(x)则f(x)在R上单调递增，所以f(x)在1,1a上单调递增，所以f(1a)f(1)2，即(1a)|1a|12，又1a1，故可得0a 1，所以实数a的取值范围是(0，1一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知a，bR，则使不等式|ab|a|b|一定成立的条件是()Aab0Bab0Cab0 Dab0解析：选D当ab0时，|ab|a|b|，当ab0时，|ab|a|b|，故选D.2设集合Ax|4x1|9，xR，B，则(RA)B()A(，3)B(3，2C(，3D(3，2解析：选A由题意得A，B(，3)0，)，(RA)B(，3).3不等式|x2|的解集是()A(3，2) B(2,0)C(0,2) D(，3)(2，)解析：选D不等式即为5(x2)3x14或5(x2)(3x14)，解得x2或x3，故选D.4不等式|x1|x5|2的解集为_解析：不等式|x1|x5|2等价于或或即或或故原不等式的解集为x|x1x|1x4x|x4答案：x|x45不等式|x(x2)|x(x2)的解集为_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x2二保高考，全练题型做到高考达标1(2018台州联考)不等式(1x)(1|x|)0的解集是()Ax|0x1 Bx|x0且x1Cx|1x1 Dx|x1且x1解析：选D不等式等价于或解得0x1或x0且x1.故选D.2已知a，bR，则“|a|b|1”是“b1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B令a0，b2，则|a|b|1成立，但推不出b1；反之，若b1，则|b|1，又|a|0，所以|a|b|1.所以“|a|b|1”是“b1”的必要不充分条件3不等式|x5|x3|10的解集是()A5,7 B4,6C. (，57，) D. (，46，)解析：选D当x3时，|x5|x3|5xx322x10，即x4，x4.当3x5时，|x5|x3|5xx3810，不成立，无解当x5时，|x5|x3|x5x32x210，即x6，x6.综上可知，不等式的解集为(，46，)4不等式x2|x1|10的解集为()Ax|2x1 Bx|1x2Cx|1x2 Dx|1x1解析：选A当x10时，原不等式化为x2x0，解得0x1.x1；当x10时，原不等式化为x2x20，解得2x1.2x1.综上，2x1.所以原不等式的解集为x|2x1，故选A.5(2018长沙六校联考)设f(x)x2bxc，不等式f(x)0的解集是(1,3)，若f(7|t|)f(1t2)，则实数t的取值范围为()A(3,1) B(3,3)C(1,3) D(1,1)解析：选Bf(x)0的解集是(1,3)，a0，f(x)的对称轴是x1，且ab2.f(x)在1，)上单调递增又7|t|7,1t21，由f(7|t|)f(1t2)，得7|t|1t2.|t|2|t|60，解得3t3. 故选B.6已知函数f(x)|x6|mx|(mR)，若不等式f(x)7对任意实数x恒成立，则m的取值范围为_解析：由绝对值三角不等式得f(x)|x6|mx|x6mx|m6|，由题意得|m6|7，则7m67，解得13m1，故m的取值范围为13,1答案：13,17设|x2|a时，不等式|x24|1成立，则正数a的取值范围为_解析：由|x2|a得2axa2，由|x24|1，得3x25，所以x或x.因为a0，所以由题意得解得 0a2，故正数a的取值范围为(0，2答案：(0，28(2018杭州五校联考)已知不等式|x24xa|x3|5的x的最大值为3，则实数a的值是_解析：x3，|x3|3x.若x24xa0，则原不等式化为x23xa20.此不等式的解集不可能是集合x|x3的子集，x24xa0不成立于是，x24xa0，则原不等式化为x25xa20.x3，令x25xa2(x3)(xm)x2(m3)x3m，比较系数，得m2，a8.答案：89已知|2x3|1的解集为m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求证：|x|a|1.解：(1)不等式|2x3|1可化为12x31，解得1x2，所以m1，n2，mn3.(2)证明：若|xa|1，则|x|xaa|xa|a|a|1.即|x|a|1.10(2018杭州质检)已知函数f(x)|x4|xa|(aR)的最小值为a.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)5.解：(1)f(x)|x4|xa|a4|a，从而解得a2.(2)由(1)知，f(x)|x4|x2|故当x2时，令2x65，得x2，当2x4时，显然不等式成立，当x4时，令2x65，得4x，故不等式f(x)5的解集为.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018金丽衢十二校联考)设a，b为实数，则“|ab2|ba2|1”是“22”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A22a2ab2ba2ab2b1b2aa2b1，令b2ax，a2by，则|x|y|xy|xy，所以|x|y|1xy1，故充分性成立，必要性不成立，故选A.2已知函数f(x)|x1|xa|(a1)(1)若不等式f(x)2的解集为，求a的