（浙江专版）2020版高考数学复习第二章不等式第五节基本不等式学案（含解析）.docx

第五节 基本不等式1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b2 2ab(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)小题体验1(教材习题改编)设x，yR，且xy18，则xy的最大值为_答案：812若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_解析：x22y2x2(y)22x(y)2，所以x22y2的最小值为2.答案：21使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误3连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致小题纠偏1下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析：选C对于A选项，当x时，lglg x，故A不一定正确；B选项，需要满足当sin x0时，不等式才成立，故B也不正确；C选项等价于(|x|1)20，显然正确；D选项不正确，x211，01.2若f(x)x(x2)在xn处取得最小值，则n等于()A.B3C. D4答案：B3函数f(x)x的值域为_答案：(，22，)典例引领1设直角坐标系xOy平面内的三点A(1，2)，B(a，1)，C(b，0)，其中a0，b0，若A，B，C三点共线，则的最小值为()A4B6C8 D9解析：选C由题意得，(a1,1)，(b1,2)因为A，B，C三点共线，所以2(a1)(b1)0，即2ab1.又a0，b0，所以(2ab)442 8，当且仅当b2a时等号成立，故选C.2设ab0，则a2的最小值是()A1 B2C3 D4解析：选Da2(a2ab)ab2 2 4，当且仅当a2ab且ab，即a，b时取等号3(2018嘉兴高三测试)已知a0，b0，且满足3aba2ab，则2ab的最小值为_解析：由a0，b0,3aba2ab，可得b0，解得1a3.故2ab2aa132323，当且仅当a1，即a1，b1时取等号故2ab的最小值为32.答案：32由题悟法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值即时应用1若a0，b0，ab1ab，则ab的最小值为_解析：1abab2，(ab)24(ab)40.ab22或ab22.a0，b0，ab22.ab的最小值为22.答案：222(2018杭州质检)已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_解析：由题意得y，2xy2x3，当且仅当xy1时，等号成立答案：33已知正数x，y满足x2y1，求的最小值解：x，y为正数，且x2y1，(x2y)332，当且仅当，即当x1，y1时等号成立的最小值为32.典例引领如图，设矩形ABCD(ABBC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB交DC于点P，设ABx.(1)用x表示DP；(2)用x表示ADP的面积；(3)求ADP面积的最大值及此时x的值 解：(1)ABx，AD12x，又DPPB，APABPBABDPxDP，由勾股定理有(12x)2DP2(xDP)2，DP12(6x12)(2)SADPADDP(12x)108(6x12)(3)6x12，6x2 72，SADP10810872，当且仅当6x，即x6时取等号当x6时，ADP的面积取最大值10872.由题悟法解实际应用题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解即时应用某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形的休闲区A1B1C1D1和人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)(1)设休闲区的长和宽的比x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a m，则长为ax m，由a2x4 000，得a.则S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)160804 160(x1)(2)S(x)804 1608024 1601 6004 1605 760，当且仅当2，即x时，等号成立，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别设计为100 m,40 m.典例引领1已知函数f(x)x2的值域为(，04，)，则a的值是()A.B.C1 D2解析：选C由题意可得a0，当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号，所以解得a1.2已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_解析：对任意xN*，f(x)3，即3恒成立，即a3.设g(x)x，xN*，则g(x)x4，当x2时等号成立，又g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min.3，a，故a的取值范围是.答案：由题悟法求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化即时应用1已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2B4C6 D8解析：选B(xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，于是(1)29恒成立所以a4，故选B.2已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_解析：依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值为2.又，因此有2，即的最小值为2.答案：2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知f(x)，则f(x)在上的最小值为()A. B. C1 D0解析：选D因为x，所以f(x)x2220，当且仅当x，即x1时取等号所以f(x)在上的最小值为0.2当x0时，f(x)的最大值为()A. B1C2 D4解析：选Bx0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号3(2018哈尔滨二模)若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2 B2,0C2，) D(，2解析：选D由12x2y2，变形为2xy，即xy2，当且仅当xy时取等号，故xy的取值范围是(，24(2018宁波模拟)已知实数x，y均大于零，且x2y4，则log2xlog2y的最大值为_解析：因为log2xlog2ylog22xy1log221211，当且仅当x2y2，即x2，y1时等号成立，所以log2xlog2y的最大值为1.答案：15若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值为_解析：因为x0，y0，所以304x29y23xy23xy15xy，所以xy2，当且仅当4x29y2，即x，y时等号成立故xy的最大值为2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2解析：选Dab0，a，b是同号，2 2，当且仅当ab时等号成立故选D.2已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4C5 D6解析：选B由题意知ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44，当且仅当ab1时取等号3(2018义乌六校统测)a，bR，且2a3b2，则4a8b的最小值是()A2 B4C2 D4解析：选D4a8b22a23b24，当且仅当a，b时取等号，最小值为4.4把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A. cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2解析：选D设两段长分别为x cm，(12x)cm，则S222，当且仅当x12x，即x6时取等号故两个正三角形面积之和的最小值为2 cm2.5若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2C2 D4解析：选C因为，所以a0，b0，由2 2 ，得ab2(当且仅当b2a时取等号)，所以ab的最小值为2.6已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12C18 D24解析：选B由，得m(a3b)6.又62612，当且仅当，即a3b时等号成立，m12，m的最大值为12.7(2018金华十校联考)已知实数x，y，z满足则xyz的最小值为_解析：由xy2z1，得z，所以5x2y222|xy|，即或解得0xy32或52xy0，所以xyzxy2.综上，知当xy52时，xyz取得最小值932.答案：9328已知函数f(x)loga(x4)1(a0且a1)的图象恒过定点A，若直线2(m0，n0)也经过点A，则3mn的最小值为_解析：由题意，函数f(x)loga(x4)1(a0且a1)，令x41，可得x3，代入可得y1，图象恒过定点A(3，1)直线2(m0，n0)也经过点A，2，即1.3mn(3mn)2 58，当且仅当mn2时，取等号，3mn的最小值为8.答案：89(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)已知ab0，求a2的最小值解：(1)y(2x3).当x时，有32x0，2 4，当且仅当，即x时取等号于是y 4，故函数的最大值为.(2)b(ab)2，a2a216.当且仅当即时取等号故a2的最小值为16.10已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2017浙江新高考研究联盟联考)已知非负实数x，y满足2x24xy2y2x2y29，则2(xy)xy的最大值为_解析：由题意，得2(xy)2(xy)29，记xym，xyn，mn0，则2m2n29，令(xy)2x2y22xy4xy，m24n，即212cos ，sin2cos ，1cos2cos ，解得0cos ，sin 1.故2(xy)xy2mn6sin 3cos 3sin()，当sin ，cos 时，2(xy)xy取得最大值，最大值为41.答案：412(2018台州三区适应性测试)设abc0，若不等式log2 018log2 018dlog2 018对所有满足题设的a，b，c均成立，则实数d的最大值是_解析：不等式log2 018log2 018dlog2 018d，即，又abc0，故lg alg blg c，即d(lg alg c)(lg alg blg blg c)2.又22，当且仅当，即acb2时取等号，故d4，即dmax4.答案：4命题点一不等关系与一元二次不等式1(2018北京高考)设集合A(x，y)|xy1，axy4，xay2，则()A对任意实数a，(2,1)AB对任意实数a，(2,1)AC当且仅当a0时，(2,1)AD当且仅当a时，(2,1)A解析：选D若点(2,1)A，则不等式xy1显然成立，且同时要满足即解得a.即点(2,1)Aa，其等价命题为a点(2,1)A成立故选D.2(2014浙江高考)已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3B3c6C6c9 Dc9解析：选C由题意，不妨设g(x)x3ax2bxcm，m(0,3，则g(x)的三个零点分别为x13，x22，x31，因此有(x1)(x2)(x3)x3ax2bxcm，则cm6，因此cm6(6,93(2016浙江高考)已知实数a，b，c，()A若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2100B若|a2bc|a2bc|1，则a2b2c2100C若|abc2|abc2|1，则a2b2c2100D若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2100解析：选D对于A，取ab10，c110，显然|a2bc|ab2c|1成立，但a2b2c2100，即a2b2c2100不成立对于B，取a210，b10，c0，显然|a2bc|a2bc|1成立，但a2b2c2110，即a2b2c2100不成立对于C，取a10，b10，c0，显然|abc2|abc2|1成立，但a2b2c2200，即a2b2c2100不成立综上知，A、B、C均不成立，所以选D.命题点二简单的线性规划问题1(2017浙江高考)若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是()A0,6 B0,4C6，) D4，)解析：选D作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由zx2y，得yx，是直线yx在y轴上的截距，根据图形知，当直线yx过A点时，取得最小值由得x2，y1，即A(2,1)，此时，z4，zx2y的取值范围是4，)2(2018天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x5y的最大值为()A6 B19C21 D45解析：选C作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z3x5y得yx.设直线l0为yx，平移直线l0，当直线yx过点P时，z取得最大值联立解得即P(2,3)，所以zmax325321.3(2016浙江高考)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()A. B.C. D.解析：选B根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B两点且斜率为1的两条直线方程为xy10和xy10，由两平行线间的距离公式得距离为，故选B.4(2018北京高考)若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是_解析：由条件得即作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示设z2yx，即yxz，作直线l0：yx并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin2213.答案：35(2018浙江高考)若x，y满足约束条件则zx3y的最小值是_，最大值是_解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示由解得A(4，2)由解得B(2,2)将函数yx的图象平移可知，当目标函数的图象经过A(4，2)时，zmin43(2)2；当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax2328.答案：28命题点三基本不等式1(2018天津高考)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_解析：a3b60，a3b6.2a2a23b222223，当且仅当即时等号成立答案：2(2018江苏高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_解析：如图，SABCSABDSBCD，acsin 120c1sin 60a1sin 60，acac.1.4ac(4ac)52 59，当且仅当，即c2a时取等号故4ac的最小值为9.答案：93(2017天津高考)若a，bR，ab0，则的最小值为_解析：因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.答案：44(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48240，当且仅当x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：30命题点四绝对值不等式1(2017天津高考)已知函数f(x)设aR，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是()A. B.C2，2 D.解析：选A法一：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示当x1时，若要f(x)恒成立，结合图象，只需x2x3，即x23a0，故对于方程x23a0，24(3a)0，解得a；当x1时，若要f(x)恒成立，结合图象，只需xa，即a.又2，当且仅当，即x2时等号成立，所以a2.综上，a的取值范围