《BB64平面与直线》PPT课件.ppt

1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第十六讲,2,第四节,一、平面,二、直线,三、直线与平面的位置关系,平面与直线,第六章,本节我们将以向量和坐标为工具,讨论平面和直线。,3,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,平面上任一向量均与,垂直。,因为过空间内一点作与已知向量垂直的平面是,唯一的，所以已知平面上的一点及垂直于平面的,一个向量，那么这个平面的位置就完全确定。,4,在平面上任取一点,例1,5,例2.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,注：1.一平面的法向量有无穷多个,且相互平行.,2.平面方程是以,为变量的三元一次方程.,6,二、平面的一般方程,将平面的点法式方程,此方程称为,显然方程与点法式方程等价,的平面,因此方程,的图形是法向量为,平面的一般方程.,展开得,令,方程中,的系数,构成该平面的法向量,得平面方程,7,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,8,例1. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,例2. 求过点M ( 1, 0, 5) 且与xoy面平行的平面方程.,解:由题意设所求平面为,将已知点 M(1 ,0 ,5)代入,所求平面为,9,例3,求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解: 已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,10,得：,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,三、平面的截距式方程,当平面与三坐标轴的交点分别为,则,就分别称为平面在,轴上的截距。,将已知点,分别代入,11,得到,平面方程的截距式方程为,轴上的截距,轴上的截距,轴上的截距,12,例如：,其对应的截距式方程为：,例4： 已知一平面过点（1，0，3），且在三个,轴上的截距之比为,求此平面方程。,解：设所求方程为：,又知平面过点（1，0，3）于是有,所求平面方程为：,13,4、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,注：取绝对值是表示,为锐角时,的值。,14,特别有下列结论：,15,例5：求两平面,解：,由公式得：,所以两平面的夹角为：,16,例6. 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 已知平面的法向量为,的法向量垂直，,所求平面为,即,和,所求平面上,且,和,与所求平面的,17,因此有,例6. 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C , 得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,18,外一点,求,五、点到平面的距离,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),例7. 设,19,例8,20,例9：求两平行平面之间的距离，其中,解：在其中一平面上任取一点，则该点到另一平面,的距离即为所求的距离。,在,上取一点,21,说明：求两平行平面之间的距离，其中,解：在其中一平面上任取一点，则该点到另一平面,的距离即为所求的距离。,在,上取一点,22,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第十七讲,23,二、空间直线方程,1. 直线的一般式方程,因此直线的一般式方程,直线可视为两平面交线，设,(不唯一),直线 L上的任一点,应同时满足这两个平面,方程。,24,通过空间直线L的平面有无穷多个，,其中任意两个,平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线,L，因此直线L的方程不是唯一的。,例如：坐标面,方程组,和,都通过,轴，因此,是,轴的一般式方程。,而平面,和,也通过,轴，因此,方程组,轴的一般式方程。,也是,25,2. 直线的点向式及两点式方程,由立体几何知道，过空间内一点作平行与已知直线,的直线是唯一的。,因此，若知道直线上的一点及与,已知直线平行的某一向量。,那么该直线的位置就完全,确定了。由此可建立直线方程。,凡是与直线平行的非零向量都称为直线的方向,一条直线的方向向量有无穷多个，,向量。,它们是相互,平行的。,任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。,由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行,与已知向量，,所以当已知直线L上一点,和它的一方向向量,直线L的位置就完全,确定了。,26,建立直线 L 的点向式方程,故有,设直线上的动点为,则,此式称为直线的点向式方程(也称为对称式方程),已知直线上一点,和它的方向向量,此方程中实际包含了两个平面方程,方程组中两个方程均为一次的平面方程,27,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,直线方程为,例如, 当,直线方程为,当,根据空间任两点可以唯一地确定一条直线,设直线 L上两个已知点,空间直线的两点式方程：,28,3. 直线的参数式方程,设,得直线L的参数式方程 :,为参变量,注意：,空间直线的方程都是方程组形式。,空间平面方程是一个一次代数方程，,两者不同，不能混淆！,29,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,30,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,31,例2：一直线L通过点,且垂直于yoz坐标面。,求L的方程。,解： 因为L垂直于yoz坐标面，,所以yoz坐标面的法向量就直线L的方向向量。,而x轴上的基本单位向量,是yoz坐标面,的法向量。,所求直线L的方程：,32,例3：求经过点,且与直线L1：,平行的直线L 的方程。,解：,故L1的方向向量,也是直线L的方向向量,注：该题即为求过 一已知点且与两已 知平面的交线平行 的直线方程。,33,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,4. 两直线间的位置关系,34,特别有:,35,例4. 求以下两直线的夹角,解: 直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,36,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,三. 直线与平面的位置关系,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,37,特别有:,解: 取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例1. 求过点(1,2 , 4) 且与平面,38,例2;求直线,与平面,的夹角的正弦。,解：L的一个方向向量,则它们的夹角正弦为：,39,例3：求过直线,与平面,的交点，且垂直于,此平面的直线方程。,解：L的参数方程：,将L的参数方程代入已知的平面方程中得：,再代入L的参数方程中得：,所求的直线L垂直于已知平面，则L中,故所求直线L的方程为：,40,3.平面束方程,(1) 过直线,的平面束,方程,41,例4. 求过直线L:,且与平面,夹成,角的平面方程.,提示:,过直线 L 的平面束方程,其法向量为,已知平面的法向量为,选择,使,从而得所求平面方程,即,42,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,43,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,44,3. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,45,直线,4. 线与线的关系,直线,夹角公式:,46,平面 :,L,L / ,夹角公式：,5. 面与线间的关系,直线 L