《D21微分方程》PPT课件.ppt

高等数学考前辅导,中北三教授数学考研面授辅导班,住址：北苑小区38号楼7单元502室,报名咨询热线：1 3 5 1 3 5 1 5 2 9 3,主讲教师,柳 林,复习进度：,第一次：微分方程、空间解析几何,第三次：多元函数积分学,第四次：级数,第二次：多元函数微分学,第七章,二、典型例题分析与解答,第七章,微分方程 (14),一、知识点与考点精讲,一、知识点与考点精讲,1. 高阶线性微分方程,若f (x) 0时,称为(对应的)齐次方程.,的微分方程称为二阶线性,其中f (x)称为自由项.,微分方程.,形如,若f (x) 0时,称为非齐次方程.,均为一次项),(1).线性微分方程解的结构定理,设,(即,是齐次微分方程,的两个线性无关的特解,定理1.,常数),则,是此方程的通解.,为任意常数),定理2,设,是非齐次微分方程,的一个特解,是对应的齐次方程的通,解,则,是非齐次方程的通解.,设,定理3.,分别是非齐次方程,的两个特解,则,是方程,的特解.,的两个不同的特解,则,是非齐次方程对应的齐次方程的解.,定理4.,设,是非齐次方程,n阶微分方程,及对应的齐次方程,解的结构与二阶方程解的结构类似.,(2) 二阶常系数齐次方程的解法:,的特征方程为,当,方程的通解为:,时,特征方程有两个相异实根,(特征方程法),当,时,特征方程有两个相同实根,方程的通解为:,当,时,特征方程有一对共轭复根,方程的通解为:,(3).二阶常系数非齐次方程,的通解Y.,再求非齐次方程,先求对应的齐次方程,的求法,待定系数法.,的一个特解,即为非齐次方程,的通解.,特解,自由项为,时,可设:,k 按,不是特征根,是特征单根,是特征重根,而取,0,1,2,是系数待定的n次多项式:,的解法,其中,将,的表达式,从而求出,代入非齐次方程,通过比较系数可确定,二、典型例题分析与解答,设线性无关的函数,都是二阶非齐次线性,方程,解:,的解,为任意,常数,例1.,则该非齐次方程的通解是( ) .,根据线性方程解的性质知:,若,是非齐次线性,方程的解,则,是对应的齐次线性方程的解,又由于,线性无关,所以该非齐次方程的,通解为,即为:,故选项(D)正确.,D,例2 .,在下列微分方程中,以,为任意常数),解:,为通解的微分方程是( ) .,由题设知所求方程的特征的根为,则其特征方程为:,即为:,所求微分方程为:,注释:,本题考查高阶线性常系数齐次方程的解法.,故选项(D)正确.,D,用直接法解此题.,解:,二阶常系数非齐次方程,的通解为_.,例3.,特征根为:,特征方程为:,对应的齐次方程的解为:,由于,故可设,将,代入原方程得:,注释:,则 a = 2 .,特解为,本题考查二阶线性常系数非齐次方程的解法.,所给方程的通解为:, = 2 不是特征根,例4.,若二阶常系数齐次微分方程,满足条件,求非齐次方程,的通解为,的特解.,解:,由于,是方程,的通解,注释:,本题考查二阶线性常系数非齐次方程的解法.,该方程的两个特征根为,故,设非齐次方程,的特解为,代入方程得,其通解为,由,可得,所以满足初始条件的特解为:,例5.,微分方程,的一特解应具有形式( ).(其中a ,b为常数),解:,的特解应为,方程,与方程,的特解之和.,原方程的特征方程为,特征根为:,故方程,B,注释:,本题考查线性常系数非齐次方程的待定特解形式.,方程,的特解形式为,方程,的特解形式为,原方程的特解应具有形式,应选(B).,求函数 f (x) .,特征方程为,设函数 f (x)满足微分方程,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线,例6.,在该点的切线重合,解:,特征根为,对应齐次方程通解为,又=1为特征方程的单根,故可设特解为,将,代入原方程得a = 2 .,特解为,原方程通解为,依