§1.1随机事件及其概率.ppt

第一讲 随机事件与概率 1.1 随机事件及其概率,台州职业技术学院数学实践基地,内容提要： 本章主要讲述随机试验，样本空间，随机事件，事件间的关系与运算，频 率，概率的统计定义，概率的性质，古典概型，几何概型，条件概率，乘 法公式，全概率公式， 贝叶斯公式，事件的独立性，贝努里概型等内容。,主要内容： 1.理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。 2.理解事件频率的概念，了解概率的统计定义。 3.理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。 4.了解概率的基本性质及概率加法定理。 5.了解条件概率的概念、概率的乘法定理。 6.理解事件的独立性概念，掌握伯努利概型和二项概率的计算。,内容分布： 第一、二、三、四章是概率论的内容，第五、六、七、八、 九、十章是数理统计部分。,难点: 古典概型的计算，乘法公式，全概率公式及贝叶斯公式的应用,1. 概率论的诞生 1654年，一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 局便 算赢家, 若在一赌徒胜 局 ()，另一赌徒胜局()时便终止赌博，问应如何分 赌本” 为题求教于帕斯卡，帕斯卡与费马通信讨论这一问题，于1654年共 同建立了概率论的第一个基本概念数学期望。 2.概率论的应用 概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律.一方面，它有自己独特 的概念和方法，另一方面，它与其他数学分支又有紧密的联系，它是现代数学的 重要组成部分.概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学技术领域，例如天气预报， 地震预报，产品的抽样调查；工农业生产和国民经济的各个部门，在通讯工程中 可用以提高信号的抗干扰性，分辨率等等。 3.概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科。,一.概率论的诞生及应用 (Naissance and application of probability theory),一.随机现象与确定性现象,1.1 随机事件及其概率,二. 随机试验和样本空间,三. 随机事件,四.随机事件间的关系与运算,五典型例题.,1.事件的包含,2.事件的相等,3.事件的和,4.事件的积,5.事件的差,6.互不相容事件,7.对立事件,8.事件运算满足的定律,1.自然界和社会上所观察到的现象: 确定性现象 、随机现象 确定性现象: 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象。 例如: a.在一个标准大气压下，纯水加热到100时必然沸腾。 b.向上抛一块石头必然下落。 c. 同性电荷相斥，异性电荷相吸 随机现象: 在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出 现那样的结果，在试验或观察之前不能预知确切的结果。,一.随机现象与确定性现象(必然现象 ),1.1 随机事件及其概率,2. 随机现象的特点 a. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系，其数量关 系无法用函数加以描述。 b. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性，但在大量 试验或观察中，这种结果的出现具有一定的统计规律性,3.概率论的定义 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科。随机 现象是概率论与数理统计研究的主要对象。,二. 随机试验和样本空间,1.试验的一些例子 E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E2：将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 E3：抛一枚骰子，观察出现的点数。 E4：记录车站售票处一天内售出的车票数。 E5：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E6：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,2.上述试验的共同特点 a：试验可以在相同的条件下重复进行； b：试验的所有可能结果是明确的，可知道的（在试验之前就可以知道的）, 并且不止一个； c：每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却 不能肯定这次试验出现哪一个结果。,3.随机试验概念 将具有上述这三个特点的实验称为随机试验,也简称为试验.,4.样本点、样本空间 a.对于随机试验E，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的一 切可能的结果是已知的，我们把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间(Sampling space)，记为。 b：样本空间的元素，即的每个可能出现的结果，称为样本点(Sampling point)，记为 。,5. 样本空间举例 1=H,T； 2=0,1,2,3； 3=1,2,3,4,5,6； 4=1,2,n；这里的是售票处一天内准备出售的车票数。 5=t|t0；,6. 关于样本空间的几点注意 a.样本空间的元素可以是数，也可以不是数; b.样本空间的元素可以有限个,也可以有无限个; c.样本点是样本空间中最小的元素。,三. 随机事件,1.随机事件的概念 a.在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情就叫随机事件，简称事件 (Random event)。 b.随机事件常用大写字母A、B、C表示，它是样本空间的子集合。 c.在每次试验中，当且仅当子集中的一个样本点出现时，称事件发生。,2.随机事件举例 a：随机试验E3中，用A表示事件“掷出奇点数”，那么是一个随机事件。 b：由于在一次投掷中，当且仅当掷出的点数是1，3，5中的任何一个时 才称事件A发生了，所以我们把事件A表示为A=1,3,5。,3. 样本点、样本空间、随机事件的关系 a：样本点是随机事件的子集 b：随机事件是样本空间的子集,4.必然事件(Certain event)与不可能事件(Impossible event) a.对于一个试验E，在每次试验中必然发生的事件，称为E的必然事件()； b.对于一个试验E，在每次试验中都不发生的事件，称为E 的不可能事件()。 c.样本空间 仅包含一个样本点的单子集 也是一种随机事件，称为基本事件。 d.必然事件与不可能事件虽已无随机性可言，但在概率论中，常把它们当作两个 特殊的随机事件，这样做是为了数学处理上的方便。,5.随机事件的表示方法 a.直接用语言来描述，同一事件可能有不同的描述； b.可以用样本空间的子集的形式来表示。,例1.,四.随机事件间的关系与运算 (Relation and operation of events),1. 事件的包含 (Inclusion) 定义:若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含事件B，记为 性质:显然,2. 事件的相等(equivalent relation) a.若 且 ，即 ，则称事件与事件相等。 b.由定义可知:相等的两个事件A,B总是同时发生或同时不发生， 在同一样本空间中两个事件相等意味着它们含有相同的样本点。,3.事件的和(Union of events) a.事件A与事件B中至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的和， 记为 b.事件 意味着:或事件A发生，或事件B发生，或事件A与事件B都发生。 c.设有个n事件A1,A2, An，定义它们的和事件为A1,A2, An中至少 有一个发生，记为 .,d.事件的和的性质 (1) (2)若,例5,4.事件的积(Union of events) a.事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积事件(交事件)， 记为 或 b.事件 意味着:事件A与事件B同时发生。 c.设有个n事件A1,A2, An，定义它们的积事件为A1,A2, An同时发生， 记为 .,d.事件的积的性质 (1) (2)如果 , 那么,5.事件的差 (Difference of events) a.事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差事件， 记为A-B b.事件 A-B意味着:事件A发生而事件B不发生。 c.显然有 .,6.互不相容事件(互斥)(Incompatible events) a.若事件A与事件B不能同时发生，即 ，则称事件 A 与事件B是互斥的，或称它们是互不相容的。 b.事件 A与B互斥意味着:事件A与事件B不能同时发生。 c.显然有任意两个基本事件都是互斥的。 d.若事件A1,A2, An中的任意两个都互斥，则称这些事件是 两两互斥的(互不相容)。,A与B互斥,A与B对立,7. 对立事件(Opposite events) a.称事件“ A不发生” 为事件A的对立事件，记为 . b.显然,在一次试验中A与 有且仅有一个发生,即不是A发生 就是 发生。 c.显然, A与 满足:,8.事件运算满足的定律 1)交换律 (Exchange law)： 2)结合律(Combination law)： 3)分配律(Distributive law)： 4) 对偶律(Dual law)：,五典型例题.,向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用A1,A2,A3分别表示事件 “第1、2、3枪击中目标”，试用表示以下各事件： (1)只击中第一枪； (2)只击中一枪； (3)三枪都没击中； (4)至少击中一枪。,(1)事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 。 (2)事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。又因为上述三个事件互不相容，所以，可以表成 (3)事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表成 . (4)事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 或,设为中的随机事件，试用A,B,C表示下列事件。 1） A 与B发生而C 不发生 2） A发生，B与C不发生 3） 恰有一个事件发生 4) 恰有两个事件发生 5) 三个事件都发生 6)至少有一个事件发生 7) A,B,C都不发生 8)A,B,C不都发生 9)A,B,C不多于一个发生 10) A,B,C不多于两个发生,1） 或