调和保费--一个新的定价模型

第18卷第 1 期 2 0 0 1 年3 月 经济数学 MATHE MATI CSI N E C ONOMI CS Vo l . 1 8 No . 1 Ma r .2 0 0 1 调和保费一个新的定价模型 张鸿雁邵学清王利民 ( 中南大学数软系， 长沙， 4 10O 8 3) 摘 要本文在经典的期望原理保费及风险调整保费的基础上建立一个调和保费的祈的定价模型， 并成功 地引 入了一个保险调和指毅R .根据R的不同取值， 我们可以将保险人的风险厌恶态度与被保险人的支付能 力达成完美的结合.这种合理性使这个模型具有很重要的实用价值. 关键词期望原理保费， 调整风险保费， 调和保费， 风险厌恶指数， 调和指数 1 . 引言 保费数额决定于保险人与被保险人采取的经济决策原则， 当保险人确定的保费小于被保 险人愿意为保险支付的最高额时， 共同受益的机会就存在， 但略高的保费拟定是保险公司免于 破产的前提.因此， 多年来， 合理的风险价格模式一直是众多保险工作者和精算师们苦苦探寻 的目 标.到目 前为止， 虽有不少人在这方面作了大量有价值的工作， 但保险费率的厘定还是以 以 下两个模式为代表. ( 1)用期望值原理来确定保险费lj. 这是比较经典的方法.保险人对保险定的基价为期望损失值E ( 二 ) =产 .产 称为纯保费.考虑 到 费用开支、 纳税、 利润以及安全因素， 还需在纯保费基础上加人附加保费. 因此， 毛保费H可定为 H =产 ( 1 十夕 )夕 0( 1 ) 其中0 为相对安全系数 ( 2 ) 基于比例风险转换( P r o p o r t i o n a l h a z a r d s t r a n s f o r m) 上的调整风险保费( r i s k 一 a d j u s t e d P r e mi u m) 4 这个模式是从保险人或被保险人对风险的态度出发.根据个人对风险的估计反映了他对 未知结果的态度来厘定保费.对一个特定的保险人来， 风险未知结果越不明确， 对此风险收取 的 保费就越高。 定义1 任意随机变量X， 其生存函 数( S u r v i o r F u n c t io n ) 为5 : ( t ) =1 一 F : ( t ) ， 则等式: 5 : ( t ) 二S x ( t ) “ p( P 之1 ， P 为风险厌恶指数)( 2 ) 定义了另外一个随机变量y ， 其生存函数为5 丫 ( t ) ， 则H ， ， X 一y叫做比例风险转换映射. 定义2 生存函数为5 抓t)的随机变量X， 其风险调整保费为: 丐(x) 其中p 为风险厌恶指数. 一 : 仁 。 ，(X ) 一 丁 了 5 (才)1/，d ，夕 之 ( 3 ) 国家自 然科学基金资助项目( N o . 1 9 7 7 1 0 3 2) 收稿日期: 2 0 0 0 一0 7 一2 4 经济数学第 18卷 以上两种定价模式虽然应用比较广泛( 尤其是第一种) ， 但对于期望值原理模式来说， 保险 费是期望损失， 再附一个缓冲基金或者说乘以一个比例因子。表面上看来， 这种风险的安全性 已天衣无缝， 同时也很容易让被保险人接受。 但在承保重大的责任保险或财产保险时， 小概率、 大损失的灾难一但降临， 破产便成了不可避免的事实。 B o w er在1 9 8 6 年曾指出“ 靠附加相对安 全系数的保费来避免破产的概率是极小的” 阁， 而调整风险保费的多少主要取决于风险厌恶指 数的大小， 它的合理性在于它符合“ 相对于期望损失来说， 任何合理的保费计算都必须做到， 在 同一个风险里， 超额损失层的安全附加必须高于低层的安全附加” 的原则。这就使得再保险成 为可能， 但p 的增大会造成这样的难堪局面。 保险人期望的高枕无忧会让被保险人望而却步。 因为事实上， 当用参数为(a， b)佩尔托(Par et o)分布为损失分布时， 如果取p 为1 。 8 ， 则保险费 高达 gb， 简直太可怕了。 考虑到以上的不足， 我们建立一个调和保费的新的定价模型， 并引人了一个保险调和指数R 。 根据R的不同取值， 我们可以将保险人的风险厌恶态度与被保险人的支付能力达成完美的结合。 2 . 模型建立 2 . 1 建模 ( 1)X为一非负随机变量， 代表一个风险的随机损失， X的密度函数为fx(x) x 任1 (2 ， 。 一 “ x 一 价 、 (J )介 ( 3 ) F x ( t ) =P : 二 三t ， 生存函数 S x ( t ) =1 一F ， ( t ) ( 4 ) H ， ， X 一Y为S y ( t ) = 5 二 ( t ) / ” ( 尸 之1 ) ， 其中尸 为风险厌恶指数。 ( 5)对一风险X， 其调和保费定义为: ;二 (X ) 一 声 E X + ( 卜声 ) E ;(X ， 卜赴+ ( 一 声 汀 了 5 (!，1/d ( ， 其中R被称为稠和指数， R 0 2 . 2 模型分析 1 . 在( 4)式中， 如果把p 看成变量， 那么M与夕 有何关系 为便于讨论， 令q 二1 / p ， 则 二 ，二 (X ) 一 、 。 + ( 卜。 ) 了 5 (，)，d ， 瀚， .; ( X) 丙R 。 一 * 。 一 厂 5 (才)d ， + ( 卜。 ) 二 5 (， )， 5 (才 )d ， * 。 一 井 5 (，卜5 (才)d ， + ( 卜。 ) 歹 5 (，)， 5 ， ，d ， ( 5 ) 因( 5 ) 中S x ( t ) 一S x ( t ) “ 0 ， b 0 1 . 令 U=a X， 则S c ( u ) =S x ( u / a ) ， 二 .; (。 卜 春 产 + ( 一 声 ，丁 了 “ ( 号 ) 一 声 。 + ( 一 声 ，丁 了 5 (!， 产 + ( 卜声 ， 了 5 (， ，1/d d U 一二 二 X ， 即有 凡. * ( a X) =a 凡. ; ( X) ( 6 ) 2 . 令V=X+b ， 则有 5 (V 一 5 二 ( V一 b ) V b 可得 汀 ， .， ( V) = (“ + ” ， + ( 一 声 ， ld V + 了 5 (V 一 。 ) 1/，、 v 1、 ，. 毕 十 0 )十 L l一 二 天 )l 0十 ! 尸LJ5 ( ， “ d 1-尸1一尸 1.， ，1、 co。 ， . 、 ， ， 。 ， 二， 厂1 ， ，1、 严 产 一、 一严 J 。 “ X 、 a 石 一 “ L 严十又 一严 凡. 以X) +b 即 凡， 袱X+b) =凡.; ( X) +b 引理 I U， V为两个非负随机损失变量， 假设U， V不具备相互独立性， ( 7 ) 则有凡( U+V) 0 证明令U的期望为产 ， ， V的期望为产 2 ， 运用引理 1 ， 则 1-尸1-尸 爪， ; ( U+V) = 十 产 2 ) + ( 1一) 汀 ， ( U+V ) + 产 2 ) + ( 1一) ( 碑( U) +汀 ， ( V) ) 产产 rr、r、 产 1 + ( 1一) 二 。 ( 。 ) + 畏 ; 2 +( 1 一畏 ) 二 ， ( v ) 尸扩 1-尸 1一尸1-尸1-产 =凡* ( 之 了 ) +汀 ， . * ( V ) 从此定理可以看出， 被保险人不会将一个风险拆成两个或多个子风险去投保。 一 2 2一经济数学第 18巷 -一-，想 些竺二二 定义3 对风险X l ， X : ， X ， X : ， 如果效用函数具有性质 f ( X ， ) f ( X Z ) 则称f具有保风险序性2j。 定理3 调和保费函数具有保风险序性。 证明 设X l ， X Z 为 两 个随 机 风险 损失 变 量， 且X ， X Z 因 为X ， 长 X Z ， 所以 ， 有S x : ( t) S x Z ( t ) 显 然 有 .* ( X ， ) .; ( X Z ) 4 . 应用 对于不同的分布， 期望原理保费、 风险调整保费和调和保费是不一样的， 下表就三种分布 作了清楚的归纳: 分布 II 朴( X) 丐. ; ( X) 均匀分布 ( 0 ， Z a 上) ( 1 +夕 ) a Pa P +1 1 . Pl a 一万，一了六一二丁万 花下二 下 尸 下一二 1 产1 卞 尸严 一 气 1 一 I，j 指数分布 ( 参数为a) ( 1 十夕 ) aP a 了11._ 1 a 花 芡一 二 天 丁不 卞 1， 尸尸一1 佩尔托分布 ( 参数为( a ， 久 ) ) a 几 ( 1 + 0 ) 二 州 一 下 . a土 P 又_ /_ . 二 一一二尸、 、“ “一 尸 coP 之a 、 1， PI _ /_ 八， 二 面 下 尸 一 - 一了万叮戈 于 一 二一 二万二不 下 万一一二又 1尸、 、“ 尸 一气 a一 1少仪一 1，尸一 又 “一 1，夕1 。P 全a 例 1 . 行比较 2 . 解 : 一个随机损失变量X， X服从以参数为( 3 ， Z b)的佩尔托分布。 试求当安全系数为0 、 风险厌恶指数为P 、 R =2 ， 1 ， 1 /2 时， 三种保费各是多少， 并绘图进 当p “2 时， 求凡.R 与R的关系， 并绘图: : 1 . a =3 几 =Zb产 =b 则 H = 凡 = ( 1+ 2 P 夕 ) b 3一 P 曙于 黯旦 ” 旦 令 兴 藉” ;朱爷 藉“ R = 0 . 5 R = 1 R = 2 |，|K一 一一 R 凡 2 . p =2 时 1、 产 十 L l一 二 反 少 凡 气 人少 I. 1-尸 - R 称 1，。， ，1、 2X2 二， 。 ， 。 左 、 二 称， 今砰 ” 十L 上 一乎夕 息 二厄 “ 一、 任 一“ “夕 “ 从两个图可以看出， 前面对模型的分析是完全正确的。 23 第 1 期 张鸿雁邵学清王利民: 调和保费一个新的定价模型 4 卜 保 费肠为 一 个单 位)几 .R 气 3 . 5 152 R:2R:l 15 2 R 切 门 5 ;+e)。 Zp (e) l 5 l j l 2 1 . 4 l 61 一 8 0 jl j26 图一三种保费的比较图二凡.R 与R的关系 5 . 结论 本文在两个经典模型的基础上建立了一个比较完美的新的定价模型， 通过对模型的分析， 我 们得出了一些很好的结果， 并运用一个实例， 对它们进行了验证。 对于这个模型的研究， 本文 只 是作了一个良好的开头。 今后， 我们还可以将它用到再保险行业中。 总之， 在此基础上， 进一 步的模索定能产生很有价值的成果。 参考文献 Bew ere . N . L . 等， 风险理论( 中译本) ， 上海科学技术出版社， 上海， 1995. 张尧庭. 陈惫玉， 效用函数及其优化， 科学出版社， 北京， 2 0 0 0. Wa n g s h a u n ， I n s u r a n c e p r i c i n g a n d i n c r e a s e d l i m i t s r a t e m a k i n g b y p r o p o r t i o n a l h a z a r d s t r a n s fo r m s ， I n - s u ran c e : 阴a t h e 切a t ic s a n de c o n o 功i s c ， 1 7 ( 1 9 9 5 ) 4 3 一5 4 . BOw e r s ， N . L . ， G e r b e v ， H. V. ， H ic k m a n ， j . c . ， J o n e s ， D . A . ， N e s b i t t . C . J . ， A c t 二 a r i a l 五 4 d t h e m a t i c s ， c h a p - t e r Z ， T h e s o c i e t yo f A c t u a r i e s l t a s c a ， I L ， U S A， 1 9 8 6 . V e n t e r ， G . G . ( 1 9 9 1 ) . P r e m i u mc a l c u 1 a t i o ni n m p l i c a t i o n s o f r e i n s u r a n c e w i t h o u t a r b i t r a g e ， A S T I NB u l- l e t i n， 2 1 ， 2 2 3 一 2 3 0 . 飞lleejl|1esJ 110乙，J任一0 尸IL一lesJLeeLlesesLL.L ACCOM M ODATED PREM I UM 一 A NEW PRI CI NG PRI NCI PLE Z h a n gH o n g y a n ( C e n 艺 。1 一 S o u t hU n i v e rs i ty旧亡 户 t S h a oX u e q i n g 月 户 户 1 . 材d th & A p PI. Wa n gI J i m i n g S Q j 王 切 a re， C h a n g s h a ， 4 1 0 0 8 3 ) A b s t r a c t l nt h i s p a p e r ， w e i n t r o d u c e a n e wp r i n c i n g m o d e l 一a c c o m m o d a t e d p r e m i u mo nt h e b a s e o f c l a s s i c a l e x p e c t e dl o s s p r e m i u mm o d e l a n d r i s k 一 a d j u s t e dp r e m i u mm o d e l ， a n di n t r o d u c e a Rn a m e d p r e m i u m 一 a c c o