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文档简介

1.10 函数的连续与间断,一. 函数的连续性,二. 左连续与右连续,三.连续函数与连续区间,四.函数的间断点,一. 函数的连续性,预备知识：函数的增量,对自变量的增量,有函数的增量,定义2,设,在 内有定义,如果,或,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可见 , 函数,在点,定义3:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,证,由定义3知，,二. 左连续与右连续,定理1,例2,解,右连续但不左连续 ,三. 连续函数与连续区间,在(a,b)区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,并称区间(a,b)为连续区间.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例3. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四. 函数的间断点,定义4,在,在,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,为,连续函数.,机动 目录 上页
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