《动力计算A》PPT课件.ppt

第 15 章,结构动力计算 （A）,15.1 动力计算概述,15.1.1 结构动力计算的特点 动（力）荷载与静（力）荷载: 静荷载：大小、方向、作用位置不随时间变化的荷载。 动荷载：大小、方向、作用位置随时间迅速变化的荷载。(结构将发生振动)。 注意：多数实际荷载并不是静荷载；不能忽略惯性力影响时，则应看成是动荷载, 动力计算与静力计算的区别,根据达朗伯原理，动力计算可化为静力平衡问题来处理。 这是一种形式上的平衡，是一种动平衡，是在引进惯性力的条件下的平衡。 注意两个特点：（1）力系中要包括惯性力； （2）是瞬间的平衡，荷载、位移、内力等都是时间的函数。,15.1.2 动力荷载的分类,周期荷载（荷载随时间作周期性的变化）。 简谐荷载（荷载是时间t的正弦或余弦函数）。 非简谐性的周期荷载。,（续）,冲击荷载（荷载在很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧减小）。如各种爆炸荷载，撞击荷载。 突加（卸）荷载（瞬间施加于结构，并继续留在结构上）。如装卸，短时荷载。,t,P(t),t,（续）,随机荷载（非确定性荷载：荷载在将来任一时刻 的数值无法事先确定）。如地震荷载和风荷载。 快速移动荷载（作用点随时间变化）。如高速过 桥的列车、汽车等。,15.1.3 动力计算中体系的自由度,在动力计算中，一个体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目。 实际结构都可说具有无限个自由度。 常用的简化自由度方法 集中质量法： 即 把连续分布的质量集中为几个质点。这样就可以把一个原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。,（举例）,注：自由度的个数与集中质量的个数并不 一定彼此相等。,注：动力自由度 = 固定体系中全部质量的 位置所需的附加支杆数。,15.2 单自由度体系的自由振动,15.2.1 自由振动微分方程的建立 自由振动：由初始干扰 即初始位移或初始速度，或初始位移和初始速度共同作用下所引起的振动。 振动模型（无阻尼）： 方程建立： 刚度法 由质量m隔离体的动力平 衡方程建立振动微分方程：,（续）, 柔度法 由结构的位移方程 建立振动微分方程：,注：柔度系数 与刚度系数 k 互为倒数。,15.2.2 自由振动微分方程的解答,单自由度体系自由振动微分方程 可改为 （15.3） 其中 二阶常系数齐次微分方程其通解为 （b） 其中的系数C1和C2由初始条件确定。,（续）,设 在初始时刻 t=0 质点有初始位移y0 和 初始速度v0 , 则 由此解出： 代入式（b） 得 （15.4）,（续）,振动是由两部分所组成： 一部分是单独由初始位移y0 （没有初始速度）引起的， 质点按 规律振 动; 另一部分单独由初始速度v0 （没有初始位移）引起的， 质点按 规律振动。,（续）,将 改写为 其中参数a 称为振幅， 称为初始相位角。,(或 Arc tg),15.2.3 结构的自振周期,结构的自振周期 T (在自由振动过程中，质点每隔一段时间T又回到原来的位置)： 频率 f (自振周期的倒数，单位时间内的振动次数，1s或赫兹HZ）： 圆频率 （习惯上有时也叫做频率，在2个单位时间内的 振动次数）：,（续）,结构自振周期 T（固有周期）的一些重要性质： （1）自振周期与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力的大小只能影响振幅的大小，而不能影响结构自振周期的大小。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，刚度的平方根成反比。 （3）自振周期是结构动力性能的一个很重要的数量标志。,例15.1 等截面简支梁，EI、l，集中质量m。忽略梁本身的质量，试求梁的自振周期T和圆频率。,解：对于简支架跨中质量的竖向 振动来说，柔度系数为 自振周期 T： 圆频率 ：,例15.2 等截面竖直悬臂杆，l、A、I、E。杆顶有重物 W。杆件本身质量不计，试分别求水平振动和竖向振动时的自振周期。,解：（1）水平振动 当杆顶作用水平力W时，杆顶的水平位移为 ， 自振周期为 ； （2）竖向振动 当杆顶作用竖向力W时，杆顶的竖向位移为 ， 自振周期为 。,例15.3 单层刚架，横梁抗弯刚度 ，柱的截面抗弯刚度为EI，横梁上总质量为m。柱的质量不计，求刚架的水平自振频率。,解：（l）求刚架水平侧移刚度系数 k（柱顶产生单位水平位移所需的力）：,（2）刚架的自振频率 为：,例15.4 试求机器连同基础作竖向振动的自振频率。,图示机器基础，机器与基础的总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数（即单位面积产生单位沉陷时所需施加的压力为 cZ=0.6Ncm3=0.6106Nm3，基础的底面积A=20m2。 解： （1）在基础底面积上总的抗压刚度系数 （2）自振频率为,课堂练习,思考题,在建立振动微分方程时，如考虑重力W=mg的影响，动位移的方程有无改变？ 答： 故取重力作用下的平衡位置为坐标原点,则动位移的方程不变。,解：刚杆AB在振动过程绕A转动。,例：试列出图示结构的振动微分方程，并求结构自振频率。,15.2.4 阻尼对自由振动的影响,考虑阻尼力必要：按照无阻尼的理论自由振动将是按照周期函数的规律进行不停的振动；实际结构的振动将在阻尼力作用下逐渐衰减。 阻尼存在：振动周围介质（空气、液体）的阻力 ，支承部分的摩擦、材料内部的摩擦等。 阻尼力性质：对质点运动起阻碍作用。从方向上看，它总是与质点的速度方向相反。从数值上看，阻尼力与质点速度成正比（Voigt假定），称粘滞阻尼力。,具有阻尼的单自由度 体系的振动模型,自由振动微分方程,小结：, 低阻尼的自由振动是衰减振动, 低阻尼对自振频率的影响 r， 0.2r , 低阻尼对振幅的影响,（续）,例15.5 图示排架，在横梁处加一水平力，柱顶产生侧移 0.6cm，自由振动一周后，枉顶侧移为 0.54cm，试求排架的阻尼比及振动 10周后柱顶的振幅。,解,15.3 单自由度体系的受迫振动,15.3.1 单自由度体系受迫振动微分方程的建立 结构在动荷载作用下的振动称强迫振动或受迫振动。 单自由度体系的 强迫振动模型： 单自由度体系 受迫振动微分方程：,或,15.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,(1) 简谐荷载作用下方程的解答,二阶常系数非齐次微分方程，其解=齐次通解+特解,通解为：,设特解为：,故得全解：,则,（续）,若初始位移和初始速度均为零，则,（2）简谐荷载作用时的动力系数,最大动位移（振幅）,（续）,动力系数 （最大动位移与最大静位移的比值）：,动力系数 是频率比值/的函数。 当/0时，动力系数1 （可当作静荷载处理）； 当0 /1时，动力系数 1（随/的增大而增大）； 当/1时， ，即当荷载频率 接近于结构自振频 率 时，振幅无限增大。这种现象称为“共振 ”。 当/1， 的绝对值随/的增大而减小。,例15.6 设有一简支钢梁，跨度l=5m，型号为I32b工字钢，I=11626cm4，W=726.7cm3，E=2.l108kPa。在跨度中点有电动机，重量Q=40kN,转速n=400rmin。由于具有偏心，转动时产生离心力P=20kN，离心力的竖向分力为Psint,忽略梁本身的质量，试求钢梁在上述竖向简谐荷载作用下强迫振动的动力系数和最大正应力。,解：（1）简支钢梁的自振频率,（2）荷载的频率,Q,（续）,（3）动力系数,（4）求跨中最大正应力,15.3.3 一般荷载作用下结构动力反应,瞬时冲量的动力反应 静止状态体系在t =0时有瞬时冲量S作用：,静止状态体系在t =时有瞬时冲量S作用， ( t )时刻位移表示为：,（续）,微分冲量引起的动力反应：,杜哈梅（J.M.C.Duhamel）积分初始静止状态单自由度体系在任意动荷载作用下的位移公式。,一般动荷载P(t)的动力反应,叠加(积分)得总反应：,（续）,如果初始位移和初始速度不为零，则总位移应为,例举： （1）突加荷载,（续）,动力位移：,动力系数 ,（续）,（2）线性渐增后保持常量荷载,动力反应同样可利用杜哈梅公式来求，结果如下：,线性渐增荷载动力反应与 tr 的关系,若升载时间很短( tr 4T)， 接近1，相当于静荷载。 动力系数反应谱曲线（动力系数 1 2）,注意1：,干扰力不作用于质点振动方向（如图a）,处理方法：,动力荷载P(t)不作用在集中质量上时，根据质量m处位移相等的原则，把不作用在质量上的荷载换算成作用于集中质量上的荷载。柔度法写动位移方程： ，其中 换算成 即 或,对质点写位移方程：,宜用柔度法计算。 质点的位移幅值仍可 用式 计算。 不是内力的动力系 数（ 都可表示动 力系数）。,提示：,注意2：结构动内力可列幅值方程求解,简谐荷载下无阻尼受迫振动，质点的位移、加速度、惯性力和动荷载随时间的变化规律相同，各量同时达到幅值，即,可在位移达到幅值（当 sin t =1）时，列方程求位移幅值和内力幅值。先惯性力幅值 。,算例1,试建立图示体系的运动方程，并求自振频率 、振幅A、弯矩幅值图和梁右端角位移的幅值 。假设静力平衡时梁轴为水平线，EI=常数，不计阻尼。,（续）,解：1. 建立运动方程 （1）列动位移方程（柔度法） 即 或 图乘法计算： ， 则该体系运动方程：,（续）,（2）列动平衡方程（刚度法） 据位移法原理，质点下加链杆约束。 平衡条件： 即 其中 用力法或力矩分配法求M图后，求Q图，再求支反力 。,M 图,Q 图,（续）,（3）以质量为对象建立动平衡方程（刚度法）。 先把动力荷载化为作用在质量上的等效集中荷载,（续）,2. 求 由运动方程可知结构自振频率： 3. 求振幅A 由于诸量值同时达到幅值，可列位移幅值方程： 故 而,（续）,4. 求弯矩幅值图 由叠加原理，跨中弯矩幅值为： 作弯矩幅值图：,M,1.032,（续）,5. 求位移（转角）幅值 由叠加原理，得 单自由度体系受迫振动中，若动荷载不作用在质量上，则位移动力系数和内力动力系数是不相同的。,1.012,算例2,求图示梁的动力弯矩图 （ ）,（续）,解：,（图c与图d相乘）,（振幅）,（惯性力力幅）,以P和I作Md图如图(e)。(内力动力系数:1.208),位移动力系数：1.33,算例3：求图示体系右端质点的振幅,注意3：由地运动激励的受迫振动,对于有基础运动引起的受迫振动的计算，关键是先建立运动方程，再求解。由于假设的前提不同，解的形式和含义也不同。 假设质量m对基础的相对位移为 ： (图a) 假设质量m对基础的绝对位移为 ： (图b),（续）,相对,绝对,15.3.4 阻尼对受简谐荷载受迫振动的影响,具有阻尼的单自由度体系的受迫振动模型 振动微分方程,简谐荷载,设特解为,得：,（续）,全解：,平稳振动： 第二部分由于受到荷载的周期影响而不衰减，这部分振动称为平稳振动。,动力位移：,（续）,其中,动力系数：,注意：1. 动力系数 与 和阻尼比 有关, 在/ 1时可认为 0，可认为质点接近于没有振动位移。这时， 对 的影响不大。 在/ 1时（0.75 / 1.3共振区）， 对 有很大影响， 阻尼的存在，使 峰值下降。 在/ =1 时，即共振。0，；0， 则有限。,2. 对位移和动载相位差 影响与 有关,当 即/ 1时， 180，y与P方向相反。 体系振动快，惯性力大，动载主要与惯性力平衡。,15.3.5 有阻尼时的杜哈梅积分,单独由初始速度引起的自由振动为 初始时刻由冲量S引起的振动为 荷载的微分冲量的动力反应为,（续）,即：开始处于静止状态的单自