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文档简介

向量在平面几何中的应用,本溪市高级中学 姜志勇,例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行ABCD中，,设 ，则,向量 的夹角为 BAD.,例1.如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平行四边形。,证明：由已知设,即边AE、FC平行且相等，AECF是平行四边形,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,例2. 求证平行四边形对角线互相平分,证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设,则,根据平面向量基本定理知，这两个分解式是相同的，所以,解得,所以点M是AC、BD的中点，即两条对角线互相平分.,例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PEAB于点E，PFBC于点F，连接DP、EF，求证DP EF。,证明：选择正交基底 ,在这个基底下,设,所以,因此DPEF.,例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：平行四边形ABCD。 求证：,解：设 ，则,分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。,向量与直线 方向向量 法向量,x,o,y,三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例3、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点,H,由此可设,利用ADBC，BECA，对应向量垂直。,三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例4、如图已知ABC两边AB、AC的中点分别为M、N， 在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线,解：设,则,由此可得,即 故有 ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线,四、应用向量知识证明等式、求值,例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求AEM的面积,分析：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4),N是AM的中点
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