2020高考数学一轮复习2.7对数与对数函数讲义理.docx

第七节对数与对数函数1对数概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式其中常用对数：log10Nlg N；自然对数：logeNln N性质对数式与指数式的互化：axNxlogaNloga10，logaa1，alogaNN运算loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)换底公式换底公式：logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2对数函数的图象与性质函数ylogax(a0，且a1)a10a1图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的性质定义域(0，)值域R单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数函数值变化规律当x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0谨记运算法则有关口诀积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.对数函数ylogax(a0，且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限在直线x1的右侧，当a1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0a1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”函数ylogax与ylogx的图象关于x轴对称.熟记常用结论1换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab.其中a0且a1，b0且b1，m0，nR.2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)函数ylog2(x1)是对数函数()(2)log2x22log2x.()(3)当x1时，logax0.()(4)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.()(5)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、选填题1函数ylg|x|()A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增解析：选Bylg|x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增2已知a0，a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是()解析：选B函数yloga(x)的图象与ylogax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.3函数y的定义域为_解析：要使函数有意义，须满足解得x1.答案：4函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过的定点是_解析：当x2时，函数yloga(x1)2(a0，且a1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)答案：(2,2)5计算：log23log34()log34_.解析：log23log34()323log32224.答案：4题组练透1设loga2m，loga3n，则a2mn的值为_解析：由已知得a2mna2loga2loga3aloga4loga3aloga1212.答案：122已知log189a,18b5，则log3645_(用关于a，b的式子表示)解析：因为18b5，所以log185b，又log189a，于是log3645.答案：3计算：(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2；(2)；(3)(log32log92)(log43log83)解：(1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式.(3)原式log32log43log32log83log92log43log92log83.名师微点对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对数中的lg 2lg 51.典例精析例1(2019合肥质检)函数yln(2|x|)的大致图象为()解析令f(x)ln(2|x|)，易知函数f(x)的定义域为x|2x2，且f(x)ln(2|x|)ln(2|x|)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D.由对数函数的单调性及函数y2|x|的单调性知A正确答案A例2当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A.B.C(1，) D(，2)解析易知0a1，函数y4x与ylogax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga4，解得a，a1，故选B.答案B1(变条件)将例2中“4xlogax”变为“4xlogax有解”，a的取值范围为_解析：若方程4xlogax在上有解，则函数y4x与函数ylogax的图象在上有交点由图象可知解得0a，即a的取值范围为.答案：2(变条件)若例2变为：已知不等式x2logax0对x恒成立，则实数a的取值范围为_解析：由x2logax0得x2logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x2logax恒成立，只需f1(x)x2在上的图象在f2(x)logax图象的下方即可当a1时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a1.即实数a的取值范围是.答案：3(变条件)若例2变为：当0x时，logax，则实数a的取值范围为_解析：若logax在x上恒成立，则0a1，且y的图象在ylogax图象的下方，如图所示，由图象知 loga，所以解得a1.即实数a的取值范围是.答案：解题技法(1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a1时，是增函数；当0a1时，是减函数注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解过关训练1若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()解析：选B若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则a1，故函数yloga|x|的图象大致如图所示故选B.2设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x20 Bx1x20Cx1x21 D0x1x21解析：选D作出y10x与y|lg(x)|的大致图象，如图显然x10，x20.不妨令x1x2，则x11x20，所以10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，此时10x110x2，即lg(x1)lg(x2)，由此得lg(x1x2)0，所以0x1x21，故选D.考法全析考法(一)比较对数值的大小例1设alog3，blog2，clog3，则a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbac Dbca解析因为alog3log331，blog2log221，所以ab；又(log23)21，c0，所以bc.故abc.答案A考法(二)解简单的对数不等式例2设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)解析由题意得或解得a1或1a0.故选C.答案C考法(三)对数函数的综合应用例3若函数f(x)log (x24x5)在区间(3m2，m2)内单调递增，则实数m的取值范围为()A. B.C. D.解析由x24x50，解得1x5.二次函数yx24x5的对称轴为x2.由复合函数单调性可得函数f(x)log (x24x5)的单调递增区间为(2,5)要使函数f(x)log (x24x5)在区间(3m2，m2)内单调递增，只需解得m2.答案C规律探求看个性考法(一)是利用对数函数的单调性比较对数值的大小常有以下题型及求法：考法(二)是直接考查对数函数的单调性，解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a的值考法(三)考查与对数函数有关的复合函数的单调性，解决此类问题有以下三个步骤：(1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性找共性无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性，变换不同的角度来应用考法(一)与考法(二)是对数函数单调性的直接应用，利用单调性来比较大小、解不等式；考法(三)是对数函数单调性的迁移应用，根据单调性来求参数的范围，所以弄清对数函数的单调性是解题的关键，并注意有时需对底数字母参数进行讨论过关训练1设a，b，c均为正数，且2aloga，blogb，clog2c，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcbaCcab Dbac解析：选Aa0，2a1，loga1，0a.b0，0b1，0logb1，b1.c0，c0，log2c0，c1.0ab1c，故选A.2(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0ab解析：选Balog0.20.3log0.210，blog20.3log210，ab0.log0.30.2log0.32log0.30.4，1log0.30.3log0.30.4log0.310，01，abab0.3若函数f(x)loga(x22xa)(a0，且a1)有最小值，则实数a的值等于_解析：令g(x)x22xa，则f(x)logag(x)若a1，由于函数f(x)有最小值，则g(x)应有最小值 ，而g(x)x22xa(x)2a6，当x时，取最小值a6，因此有解得a9.若0a1，由于函数f(x)有最小值，则g(x)应有最大值，而g(x)不存在最大值，不符合题意综上，实数a9.答案：94(2019西安模拟)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围为_解析：当a1时，f(x)1等价于8axa在1,2上恒成立即amin，1a.当0a1时，f(x)1等价于08axa在1,2上恒成立，即amax且amin.解得a4且a4，故不存在综上可知，a的取值范围为.答案： 一、题点全面练1若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2xB.Clogx D2x2解析：选A由题意知f(x)logax(a0，且a1)，f(2)1，loga21，a2.f(x)log2x.2如果logxlogy0，那么()Ayx1 Bxy1C1xy D1yx解析：选Dlogxlogylog1，xy1.3(2019新乡一模)若log2(log3a)log3(log4b)log4(log2c)1，则a，b，c的大小关系是()Aabc BbacCacb Dbca解析：选D由log2(log3a)1，可得log3a2，故a329；由log3(log4b)1，可得log4b3，故b4364；由log4(log2c)1，可得log2c4，故c2416.bca.故选D.4(2019郑州模拟)设alog50.5，blog20.3，clog0.32，则a，b，c的大小关系是()Abac BbcaCcba Dabc解析：选Balog50.5log50.21，blog20.3log20.51，clog0.32log0.31，log0.32，log50.5.1lg 0.2lg 0.30，即ca，故bca.故选B.5(2019长春模拟)已知对数函数f(x)logax是增函数，则函数f(|x|1)的图象大致是()解析：选B由函数f(x)logax是增函数知，a1.f(|x|1)loga(|x|1)由对数函数图象知选B.6(2018肇庆二模)已知f(x)lg(10x)lg(10x)，则()Af(x)是奇函数，且在(0,10)上是增函数Bf(x)是偶函数，且在(0,10)上是增函数Cf(x)是奇函数，且在(0,10)上是减函数Df(x)是偶函数，且在(0,10)上是减函数解析：选D由得x(10,10)，故函数f(x)的定义域为(10,10)，关于原点对称由于f(x)lg(10x)lg(10x)f(x)，故函数f(x)为偶函数而f(x)lg(10x)lg(10x)lg(100x2)，y100x2在(0,10)上递减，ylg x在(0,10)上递增，故函数f(x)在(0,10)上递减7(2018郑州月考)已知2x72yA，且2，则A的值是_解析：由2x72yA得xlog2A，ylog7A，则logA22logA7logA982，A298.又A0，故A7.答案：78已知函数f(x)|log 3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.解析：因为f(x)|log3x|所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，由0mn且f(m)f(n)，可得则所以0m2m1，则f(x)在m2,1)上单调递减，在(1，n上单调递增，所以f(m2)f(m)f(n)，则f(x)在m2，n上的最大值为f(m2)log3m22，解得m，则n3，所以9.答案：99已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)loga(x1)(a0，且a1)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若1f(1)1，求实数a的取值范围解：(1)当x0时，x0，由题意知f(x)loga(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(x)当x0时，f(x)loga(x1)，函数f(x)的解析式为f(x)(2)1f(1)1，1loga21，logaloga2logaa.当a1时，原不等式等价于解得a2；当0a1时，原不等式等价于解得0a.综上，实数a的取值范围为(2，)10已知函数f(x)loga(3ax)(a0，且a1)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解：(1)a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，当x0,2时，t(x)的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立32a0，a.又a0且a1，0a1或1a，实数a的取值范围为(0,1).(2)由(1)知函数t(x)3ax为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat在1,2上为增函数，a1，当x1,2时，t(x)的最小值为32a，f(x)的最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上单调递减，则a的取值范围为()A1,2) B1,2C1，) D2，)解析：选A令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，其图象的对称轴为xa，要使函数f(x)在(，1上单调递减，则即解得1a2，即a1,2)，故选A.2(2019湛江模拟)已知loga1，那么a的取值范围是_解析：loga1logaa，故当0a1时，ylogax为减函数，0a；当a1时，ylogax为增函数，a，a1.综上所述，a的取值范围是(1，)答案：(1，)3函数f(x)log (x24)的单调递增区间为_解析：设tx24，因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)答案：(，2)(二)交汇专练融会巧迁移4与指数函数、幂函数的交汇已知x1log2，x22，x3满足x3log3x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax1x2x3 Bx1x3x2Cx2x1x3 Dx3x1x2解析：选A由题意可知x3是函数yx与ylog3x的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数yx与ylog3x的图象，如图所示，由图象可知x31，而