2020高考数学一轮复习2.6指数与指数函数讲义理.docx

第六节指数与指数函数1根式的性质(1)()na(a使有意义)(2)当n是奇数时，a；当n是偶数时，|a|2分数指数幂的意义(1)a(a0，m，nN*，且n1)(2)a(a0，m，nN*，且n1)(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)4指数函数的图象和性质函数yax(a0，且a1)图象a10a1性质定义域R值域(0，)单调性单调递增单调递减函数值变化规律当x0时，y1当x0时，0y1；当x0时，y1当x0时，y1；当x0时，0y1化简时，一定要注意区分n是奇数还是偶数1图象问题(1)画指数函数yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.(2)yax与yx的图象关于y轴对称(3)当a1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0a1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减2函数性质的注意点讨论指数函数的性质时，要注意分底数a1和0a1两种情况.熟记常用结论指数函数的图象与底数大小的比较：如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)4.()(2)函数y2x1是指数函数()(3)函数ya(a1)的值域是(0，)()(4)若aman(a0，a1)，则mn.()答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题1计算(2)6(1)0的结果为()A9B7C10 D9解析：选B原式212317.故选B.2函数f(x)3x1的值域为()A(1，) B(1，)C(0,1) D1，)解析：选B3x0，3x11，即函数f(x)3x1的值域为(1，)3化简的结果是_解析：由题意知，x0，.答案：4当a0且a1时，函数f(x)ax23的图象必过定点_解析：令x20，则x2，此时f(x)132，故函数f(x)ax23的图象必过定点(2，2)答案：(2，2)5若指数函数f(x)(a2)x为减函数，则实数a的取值范围为_解析：f(x)(a2)x为减函数，0a21，即2a3.答案：(2,3)题组练透化简下列各式：(1)022(0.01)0.5；(2)ab2(3ab1)(4ab3)；(3).解：(1)原式111.(2)原式ab3(4ab3)ab3(ab)ab.(3)原式ab.名师微点指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答典例精析(1)函数yaxa1(a0，且a1)的图象可能是()(2)若函数y|2x1|的图象与直线yb有两个公共点，则b的取值范围为_解析(1)函数yax是由函数yax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a1时，01，平移距离小于1，所以B项错误；当0a1时，1，平移距离大于1，所以C项错误故选D.(2)作出曲线y|2x1|的图象与直线yb如图所示由图象可得b的取值范围是(0,1)答案(1)D(2)(0,1)1(变条件)将本例(2)改为若函数y|2x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围为_解析：因为函数y|2x1|的单调递减区间为(，0，所以k0，即k的取值范围为(，0答案：(，02(变条件)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析：作出曲线|y|2x1的图象，如图所示，要使该曲线与直线yb没有公共点，只需1b1.答案：1,13(变条件)将本例(2)改为直线y2a与函数y|ax1|(a0，且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为_解析：y|ax1|的图象是由yax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的当a1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；当0a1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则02a1，得到0a.综上可知，a的取值范围是.答案：解题技法有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断过关训练1函数f(x)1e|x|的图象大致是()解析：选A由f(x)1e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|1，所以f(x)的值域为(，0，排除C.2已知f(x)|2x1|，当abc时，有f(a)f(c)f(b)，则必有()Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0C2a2c D12a2c2解析：选D作出函数f(x)|2x1|的图象如图所示，因为abc，且有f(a)f(c)f(b)，所以必有a0,0c1，且|2a1|2c1|，所以12a2c1，则2a2c2，且2a2c1.故选D.考法全析考法(一)比较指数式的大小例1已知f(x)2x2x，a，b，clog2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()Af(b)f(a)f(c)Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c)f(a)解析易知f(x)2x2x在R上为增函数，又ab0，clog20，则abc，所以f(c)f(b)f(a)答案B考法(二)解简单的指数方程或不等式例2(1)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_(2)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_解析(1)当a1时，41a21，解得a；当a1时，代入不成立故a的值为.(2)若a0，则f(a)1a71a8，解得a3，故3a0；若a0，则f(a)11，解得a1，故0a1.综合可得3a1.答案(1)(2)(3,1)考法(三)指数函数性质的综合应用例3已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，则f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，)，应使yax24x3的值域为R，因此只能a0(因为若a0，则yax24x3为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.规律探求看个性考法(一)是利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；考法(二)是利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；考法(三)是指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解找共性以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如yaf(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调增(减)区间；若0a1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调减(增)区间过关训练1设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca解析：选C因为函数y0.6x在R上单调递减，所以b0.61.5a0.60.61.又c1.50.61，所以bac.2(2019福州模拟)设函数f(x)则满足f(x22)f(x)的x的取值范围是_解析：由题意x0时，f(x)单调递增，故f(x)f(0)0，而x0时，x0，故若f(x22)f(x)，则x22x，且x220，解得x2或x.答案：(，)(2，) 一、题点全面练1设a0，将表示成分数指数幂，其结果是()AaBaCa Da解析：选C由题意aa.故选C.2.函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1,0b1D0a1，b0解析：选D法一：由题图可知0a1，当x0时，ab(0,1)，故b0，得b0.故选D.法二：由图可知0a1，f(x)的图象可由函数yax的图象向左平移得到，故b0，则b0.故选D.3化简的结果是()Aa BbCab Dab2解析：选A原式aaaaaa.4设x0，且1bxax，则()A0ba1 B0ab1C1ba D1ab解析：选C因为1bx，所以b0bx，因为x0，所以b1，因为bxax，所以x1，因为x0，所以1，所以ab，所以1ba.故选C.5已知a()，b2，c9，则a，b，c的大小关系是()Abac BabcCbca Dcab解析：选Aa()22，b2，c93，由函数yx在(0，)上为增函数，得ac，由函数y2x在R上为增函数，得ab，综上得cab.故选A.6函数f(x)axb1(其中0a1，且0b1)的图象一定不经过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C由0a1可得函数yax的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0b1，所以1b10，所以01b1，yax的图象向下平移1b个单位即可得到yaxb1的图象，所以yaxb1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限故选C.7已知函数f(x)则函数f(x)是()A偶函数，在0，)单调递增B偶函数，在0，)单调递减C奇函数，且单调递增D奇函数，且单调递减解析：选C易知f(0)0，当x0时，f(x)12x，f(x)2x1，此时x0，则f(x)2x1f(x)；当x0时，f(x)2x1，f(x)12x，此时x0，则f(x)12(x)12xf(x)即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.8二次函数yx24x(x2)与指数函数yx的交点有()A3个 B2个C1个 D0个解析：选C因为二次函数yx24x(x2)24(x2)，且x1时，yx24x3，yx2，在坐标系中画出yx24x(x2)与yx的大致图象，由图可得，两个函数图象的交点个数是1.故选C.9已知函数f(x)x4，x(0,4)，当xa时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)a|xb|的图象为()解析：选A因为x(0,4)，所以x11，所以f(x)x4x152 51，当且仅当x2时取等号，此时函数有最小值1，所以a2，b1，此时g(x)2|x1|此函数图象可以看作由函数y的图象向左平移1个单位得到结合指数函数的图象及选项可知A正确故选A.10函数f(x)的单调递减区间为_解析：设ux22x1，yu在R上为减函数，函数f(x)的单调递减区间即为函数ux22x1的单调递增区间又ux22x1的单调递增区间为(，1，f(x)的单调递减区间为(，1答案：(，111不等式恒成立，则a的取值范围是_解析：由指数函数的性质知yx是减函数，因为恒成立，所以x2ax2xa2恒成立，所以x2(a2)xa20恒成立，所以(a2)24(a2)0，即(a2)(a24)0，即(a2)(a2)0，故有2a2，即a的取值范围是(2,2)答案：(2,2)12已知函数f(x)x3(a0，且a1)(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立解：(1)由于ax10，则ax1，得x0，函数f(x)的定义域为x|x0对于定义域内任意x，有f(x)(x)3(x)3(x)3x3f(x)，函数f(x)是偶函数(2)由(1)知f(x)为偶函数，只需讨论x0时的情况，当x0时，要使f(x)0，则x30，即0，即0，则ax1.又x0，a1.当a(1，)时，f(x)0.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1设yf(x)在(，1上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)给出函数f(x)2x14x，若对于任意x(，1，恒有fK(x)f(x)，则()AK的最大值为0 BK的最小值为0CK的最大值为1 DK的最小值为1解析：选D根据题意可知，对于任意x(，1，恒有fK(x)f(x)，则f(x)K在x1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可令2xt，则t(0,2，f(t)t22t(t1)21，可得f(t)的最大值为1，K1，故选D.2已知实数a，b满足ab，则()Ab2 Bb2Ca Da解析：选B由a，得a1，由ab，得2ab，故2ab，由b，得b4，得b4.由2ab，得b2a2，a2，故1a2,2b4.对于选项A、B，由于b24(ba)(b2)24(a1)0恒成立，故A错误，B正确；对于选项C，D，a2(ba)2，由于1a2,2b4，故该式的符号不确定，故C、D错误故选B.3设a0，且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求实数a的值解：令tax(a0，且a1)，则原函数化为yf(t)(t1)22(t0)当0a