《基于选择的需求》PPT课件.ppt

第6讲 基于选择的需求,到目前为止，我们的需求理论建立在消费者的偏好之上。这种基于偏好的需求映射满足零阶齐次性、瓦尔拉法则、连续可微、并且具有一个对称的半负定替代矩阵。人们不禁要问，这些性质是否是需求映射所特有的性质？或者说，如果一个关于价格和收入的映射满足这些性质，那么该映射能否看成是某个理性消费者的需求映射？这就是所谓的可积性问题。 本讲的第一个议题是讨论可积性问题，进一步研究需求与偏好之间的关系，建立基于选择的需求理论，并从理论上证明基于选择的需求与基于偏好的需求的一致性。 本讲的第二个议题是应用基于选择的需求理论研究总需求。我们将主要讨论三个方面的问题： 总需求是否还是价格和收入的函数？ 总需求能否揭示一种消费者偏好？ 总需求有什么社会福利意义？ 通过对这三个问题的研究，总需求的性质即可得到充分揭示。,一、选择法则与显示性偏好,从偏好关系推导消费者需求存在着这样的问题：实实在在的需求建立在了难以捉摸的主观偏好之上，那么这种需求理论可信吗？为了研究这个问题，我们换一个视角：首先从实际消费活动来观察需求，然后用观察到的需求去显示消费者偏好，最后检查这种由观察到的需求所显示的偏好是否符合消费者理性。如果观察到的需求所显示的偏好符合消费者理性，那么这里的问题就得到了解决。 其实，这种思路是萨缪尔森提出来的。萨缪尔森对序数效用论的偏好关系产生了质疑，他认为这是一个抽象概念，不受经济上的任何约束，因而实际上并不可能像序数效用论者所说的那样对消费者偏好进行有效观测。对抽象概念进行实际观测是困难的，也是罕见的，应该避免这种做法，避免使用偏好这个抽象概念。 萨缪尔森认为，当价格和收入既定时，消费者必然会选择出所需要的商品，而且对消费者的选择进行观察没有多大困难，可以做到。因此，需求实际上由价格和收入直接决定，无须通过偏好这个中间环节，不必为了观察难以捉摸的抽象偏好而设计人为试验，我们可以把消费理论建立在由价格和收入直接决定的需求之上。,为了直接从需求出发来研究消费者行为，需要首先确定消费者的需求。而为了确定需求，办法只有观察，即通过观察消费者的购买选择活动来确定每种价格 p 和收入 r 下的需求集合 D( p, r)。 这种对消费者需求的观察，其实就是对消费者的选择法则进行观察，或者说，观察得到的需求集映本身就反映了消费者的选择法则。因此，我们把通过观察得到的需求叫做基于选择的需求。 假定 D: X 是通过观察确定的需求集映，其中 X 是消费者的消费集合。对于任何( p, r), D( p, r)中的向量是观察到的消费者的购买向量，这表明D( p, r)是消费者的购买欲望与购买能力的综合反映。因此， D( p, r)必然在预算集合 ( p, r)之内：D( p, r) ( p, r)。 需求集映D: X 代表着消费者的选择法则：对于任何( p, r), 消费者首先面对一个由客观条件和购买能力决定的选择范围 ( p, r) (即预算集合), 然后在这个范围中又有某个确定的非空集合 D( p, r) (即需求集合)，最后在这个集合D( p, r)中任意选择一种消费方案。 因此，基于选择的需求集映就是这样的一种集值映射 D : X 使得对一切( p, r)，都有 D( p, r) ( p, r) 成立。,(一) 观察需求,(二) 显示偏好,需求是消费者的购买欲望与购买能力的综合反映。在客观条件和支付能力都许可的范围内，消费者选择这种方案而不选择那种方案，说明与那种方案相比消费者更偏好于这种方案。可见，基于选择的需求 D: X 本身显示着消费者的个人偏好。 首先，D( p, r) 显示出消费者对需求集合 D( p, r) 中的任何两种消费方案都有相同的偏好。这是因为，如果不是这样的话，那么消费者就不会把 D( p, r) 中的向量毫不挑剔地地作为最终消费选择。 其次，D( p, r) 显示出预算集合 ( p, r) 中没有一种方案能够比需求集合 D( p, r) 中的方案更好。这是因为 D( p, r) 是消费者从预算集合 中挑选出来的最想要的商品向量。 基于以上对需求显示偏好的解释，我们给出如下定义。,定义 基于选择的需求 D: X 显示的偏好是 X 上这样的二元关系 ：对任何 x, yX , (x y)( p, r)(x, y ( p, r)(yD( p, r) 这个二元关系 就叫做需求显示的偏好关系, 或者称为显示性偏好。, ( p, r),D( p, r),x,y,需求显示: x y,(1) 对任何 x, yX , 关系式 x y、x y 和 x y 中至多只能成立一个。 (2) 对任何( p, r) , 需求集合D ( p, r)中的任何两种方案都无差异。 (3) 对任何 x, yX , 如果 x y, 则存在( p, r)使得 x ( p, r) -D( p, r) 且 yD( p, r)。,存在的问题 尽管消费者的选择已经显示出 D( p, r) 中的方案是预算集合 ( p, r) 中最好的方案，然而却不能保证预算集合中最好的方案全都在 D( p, r)中，即不能从 x, y ( p, r)、yD( p, r) 和 x y 就断定 xD( p, r)。这与常规不符，说明对需求的观察还不够仔细。 解决这个问题的出路在于对消费者需求的观察要详尽，也就是说，如果第一次观察发现 x, y ( p, r) 且 yD( p, r)，即D( p, r)显示出 y x，第二次观察又发现 x, y (q, s) 且 xD(q, s)，即D( q, s)显示出 x y，那么D( p, r)就不但应包含着 y, 而且应该把 x 也包含进来；同样，D(q, s)不但应包含着 x，而且应该把 y 也包含进来。正是基于这样的考虑，我们提出下面的需求弱公理来解决如上存在的问题。,1. 显示性偏好的特点与问题,由显示性偏好 可引出显示性严格偏好 和无差异关系 如下：对任何 x, yX ，(1) x y 是指 x y 且 y x；(2) x y 是指 x y 且 y x。 从显示性偏好的定义可以看出：,2. 需求弱公理及其意义,需求弱公理 需求集映D: X 满足条件：对任何 x, yX 及任何 D( p, r)显示出x y, 即x, y ( p, r) 且 yD(p, r), ( p, r), (q, s)，如果 D(q, s)显示出 y x, 即x, y (q, s) 且 xD(q, s), 则xD( p, r)且 yD(q, s)。 需求弱公理保证了需求集合 D( p, r) 是预算集合 ( p, r) 中最好的方案的全体，这就使得通过观察得到的需求符合了消费选择的逻辑与常规。在需求弱公理下，我们有下述事实：,对任何( p, r) 及 x, y ( p, r), 若 xD( p, r)且 x y, 则yD( p, r)。 对任何( p, r) 及 x, y ( p, r), 若 xD( p, r)且 yD( p, r), 则x y。 对任何x, yX , x y 当且仅当存在( p, r) 使得x ( p, r) D( p, r) 且 yD( p, r)。,以上这些事实表明，需求弱公理保证了需求显示的偏好符合通常的逻辑。因此，人们也把该公理叫做显示性偏好弱公理。 然而就目前的情况与条件而言，我们还不能期望显示性偏好具有自反性、完全性和传递性，即不能期盼显示性偏好完全符合消费者评价行为的理性条件。这正是需求弱公理的“弱性”表现。,(三) 可积性问题及其意义,基于偏好的需求映射具有零阶齐次性，满足瓦尔拉法则，连续可微，并且具有对称的半负定替代矩阵。反过来，当基于选择的需求映射也满足这些条件时，该需求映射能否看成基于偏好的需求映射呢？这就是所谓的可积性问题，其答案是肯定的。无论从理论角度，还是从实践角度看，可积性问题及其答案都是相当重要的。 理论上讲，可积性问题表明了零阶齐次性、瓦尔拉法则、连续可微性及具有半负定的对称替代矩阵这四条性质的重要性，其答案阐述着基于选择的需求与基于偏好的需求之间的深刻关系。特别是可积性问题的肯定性答案，让我们完全能够相信基于偏好的需求理论的正确性和符合实际性。 再从实践的角度看，由于基于选择的需求能够显示消费者的偏好，这就有助于对消费者进行福利分析，尤其是可以从观察到的需求信息出发来构造消费者的效用函数(支出函数)。研究可积性问题还有助于对需求进行经验分析，比如可以使用一些形式简单的需求函数，只要验证它们是否满足零阶齐次性、瓦尔拉法则、连续可微性及替代矩阵的对称性就行了，从而需求理论具备了可操作性。,二、基于选择的需求映射,观察需求有一个特点：对于任何价格体系 p 和收入 r, 能观察到的消费者需求向量只有一个, 即D( p, r)是单点集。理论上讲, D( p, r)可能含有多个点，但只有在相同条件下进行多次重复观察，才能把 D( p, r) 中的所有向量都观察出来。然而，经济活动的现实不提供这种能在相同条件下进行重复观察的机会。因此，D( p, r) 必然是单点集：D( p, r) = ( p, r)。因此, 可用需求映射 : X 来表示基于选择的需求。需求弱公理表现在需求映射身上，就具有如下几种形式。,命题(需求弱公理) 对于需求映射 : X , 下列条件相互等价： 需求映射 : X 服从需求弱公理； 对任何x, yX ，若存在(q, s)使得 x = (q, s) 且 q y s，那么对任何( p, r)，如果 p x r 且 y = ( p, r)，则 x = y； 任给( p, r), (q, s)，若 p(q, s) r 且 q( p, r) s, 则( p, r) =(q, s)； 任给( p, r), (q, s)，若 p(q, s) r 且( p, r) (q, s), 则q( p, r) s。,由于需求弱公理不能保证显示性偏好的完全理性，因此我们还需要对基于选择的需求映射提出另外的合理条件。,既然零阶齐次性、瓦尔拉法则、连续可微、斯勒茨基性质(具有半负定的对称替代矩阵)是基于偏好的需求映射具有的性质，我们就把这些性质作为基于选择的需求映射公理予以承认。,齐次性公理 需求映射 : X 是零阶齐次的，即对任何( p, r) 及任何实数 t 0，都有 (t p, t r) = ( p, r)。 瓦尔拉公理 需求映射 : X 服从瓦尔拉法则，即对任何( p, r), 都有p ( p, r) = r。 可微性公理 需求映射 : X 在价格-收入集合 内部连续可微。,服从齐次性公理、瓦尔拉公理和可微性公理的需求映射，称为瓦尔拉需求映射。现就设 : X 为瓦尔拉需求映射，( p, r)，令,矩阵 S 称为瓦尔拉需求映射 : X 在 ( p, r) 处的替代矩阵；元素 shk称为商品h对商品k的替代效应系数，简称为替代系数。,(二) 瓦尔拉需求的性质,命题 设需求映射 : X 满足瓦尔拉公理，则下列条件相互等价：,(1) 满足需求弱公理。 (2) 满足补偿法：任给( p, r), (q, s), 若s = q( p, r)且( p, r) (q, s),则( p q)( p, r) (q, s) s。,命题 设 : X 为瓦尔拉需求映射, ( p, r), 并视 p为列向量，则,命题 设 : X 是满足需求弱公理的瓦尔拉需求映射，则 具有半负定的替代矩阵 S，即对任何( p, r)，替代矩阵 S( p, r) 都半负定。,(三) 对称性公理,对称性公理 需求映射 : X 具有对称的替代矩阵 S，即对于任何( p, r)，shk( p, r) = skh( p, r) ( h, k = 1,2, )。,显示偏好定理 设 : X 是满足需求弱公理的瓦尔拉需求映射。则 满足对称性公理 当且仅当 存在 X 上的偏好关系 使得 是基于这个偏好关系的需求映射。,我们没有把斯勒茨基性质作为公理，原因就是因为斯勒茨基性质并不完全独立： 需求弱公理+齐次性公理+瓦尔拉公理+可微性公理替代矩阵的半负定性。然而，我们不能期望替代矩阵的对称性也蕴含在这四条公理之中，只能将其作为公理加以提出。,显示偏好定理对可积性问题作出了肯定的回答。有了这个肯定的答案，今后就可以不论是基于偏好还是基于选择，都可把需求映射看成是满足需求弱公理、齐次性公理、瓦尔拉公理、可微性公理和对称性公理的任何映射。这五条公理就是需求映射的特征。,(四) 需求强公理,尽管对称性公理保证了基于选择的需求显示着理性偏好，但这要求其余四个公理的配合，而且关系到了替代矩阵和偏导数。我们能否直接从需求出发，提出一种类似于需求弱公理那样的公理，来保证需求显示的偏好符合理性呢？这个问题的答案也是肯定的，要求的这种公理就是所谓的需求强公理。,需求强公理 需求映射 : X 满足如下条件：对任何n 2 及任何( p1, r1), ( p2, r2), ( pn, rn) , 若 pi ( pi+1, ri+1) ri 且 ( pi, ri) ( pi+1, ri+1) (i = 1, 2, n -1)，则 pn ( p1, r1) rn。(传递性),定理 如果基于选择的需求映射 : X 满足需求强公理, 则存在 X 上自反、传递和完全的二元关系 使得对任何 ( p, r) 及任何 x, y ( p, r), 只要 x = ( p, r) 且 x y，就有 x y 。,由此可知：需求弱公理基本上等同于替代矩阵的半负定性；需求强公理基本上等同于替代矩阵的对称半负定性。强公理保证了基于选择的需求与基于偏好的需求基本一致。,x1=( p1, r1),x2=( p2, r2),x3=( p3, r3),第五次作业（11月6日之前提交）,设D: X 是基于选择的需求集映，且满足需求弱公理。证明：对任何( p, r), (q, s)及任何xD( p, r), yD(q, s)，如果 q x = s 且 yD( p, r)， 则 ( pq)(xy) 0。 证明：若基于选择的需求映射 : X 服从需求强公理，则 : X 也服从需求弱公理。,三、总需求理论,把各个消费者的个人需求加总起来，就形成了市场总需求。对于总需求，经济学家总是期望能够像处理个人需求那样来对待，即期望总需求具有个人需求那样的性质，于是形成了以如下三个问题为核心的总需求理论：总需求是否是价格和总收入的函数？总需求能否揭示一种消费者偏好？总需求的社会福利意义是什么？ 实证经济学家关心个人需求理论在多大程度上适用于总需求的问题，他们之所以这样考虑，是因为在他们利用市场均衡模型进行经济预测时，总需求起着关键性的作用。 计量经济学家关心在什么条件下可以对总需求函数赋予简单的结构以便于用作估计，比如，他们关心在什么条件下总需求仅仅是诸如总财富之类的经济总量的函数，做这种考虑的原因在于经济计量学家可得到的数据仅仅是关于总量的数据。 福利经济学家则关心总需求在经济规范方面的意义，他们想对经济环境变化引起的社会福利变化进行估计和评价，于是他们把总需求设想成为好像是某个虚构的消费者代表的需求，然后研究这个消费者代表的福利变化情况。,先来研究第一个问题：总需求是否是价格和总收入的函数？假定经济中共有 种商品和 m 个消费者。消费者 i 的消费集合为Xi，需求映射为 x = ( p, ri)，即,(一) 总需求函数,可见，总需求是价格体系 p = ( p1, p2, p) 和收入分配 (r1, r2, rm) 的函数，而不是价格 p和总收入 r = r1 + r2 + rm 的函数。 这一结论是重要的，它告诉我们，在影响总需求的因素中，除了价格体系之外，收入分配格局至关重要，它直接影响总需求，而总收入对总需求的影响仅仅是间接的。宏观经济学把总需求看成总收入的函数，看来这种做法值得怀疑。下面，我们就来看一看要想使总需求成为总收入的函数，到底需要多么强的条件。,于是，总需求为：,i,i,1. 总需求与总收入的一般关系,要想使总需求成为价格和总收入的函数，只有总需求映射满足如下条件： 用微分表达此条件, 即对于收入分配的任何微小变动(dr1, dr2, drm)，只要总收入不变: dr = dr1+dr2+drm = 0，那么总需求就不变: dx = 0，即dxh = 0 (h = 1,2, ,)。计算一下全微分dxh：,因此，总需求成为总收入的函数的充分必要条件是：,即实际收入变动对每个消费者都有同样的收入效应。这个条件又等价于每个消费者 i 都具有Gorman形式的需求映射: , 其中Ai( p) 和 B( p) 是与 p 有关的向量，并且 B( p) 对每个消费者都一样；还等价于每个消费者 i 都具有Gorman形式的间接效用函数: ( p, ri ) = ai( p) + b( p) ri, 其中b( p) 对每个消费者都一样。可见, 让总需求成为总收入的函数是一个多么强的要求！ 实际需求很难满足这一要求。,i,i,i,i,i,i,2. 总需求与总收入的特殊关系,尽管一般情况下很难把总需求写成价格和总收入的函数，但是在某些特殊情况下还是可以做到的。 比如，在某些情况下，个人收入是通过一定的分配过程或分配程序而得到的。这些情况下，就有可能把总需求写成价格和总收入的函数。例如当消费者收入是通过提供生产要素得到的时候，总需求就仅仅是价格的函数，与收入无关。 又如，政府为了帮助低收入者，要在所有消费者之间进行收入的二次分配，这种收入再分配政策限制了收入分配的变化范围，使得有可能把总需求表达成价格和总收入的函数。拿一个极端的情况说，假定消费者收入是通过一定的分配过程确定的，而这个收入分配过程可以描述成为价格和总收入的函数: ri = f ( p, r)(i =1,2,m)。这种确定个人收入的方法，叫做收入分配法则。当个人收入是按照收入分配法则得到时，就可把总需求写成价格和总收入的函数：,i,而且此时，总需求仅仅是价格和总收入的函数。,(二) 总需求与弱公理,现在讨论第二个问题：总需求能否显示一种消费者偏好？也就是个人需求的性质能够在多大程度上传递给总需求的问题。 可以看出，个人需求函数的零阶齐次性、连续性、可微性以及瓦尔拉性质，都能够传递给总需求函数。那么，需求弱公理也能够从个人需求传递给总需求吗？我们在有收入分配法则的情况下讨论这个问题。为了方便起见，假定收入分配法则为：,其中 i 为非负常数, 表示分配给消费者 i 的收入占总收入的比例。因此, 1+ 2 + m = 1。假定这个比例 i 与价格体系无关。在这种收入分配法则下，总需求仅仅是价格和总收入的函数：,要求总需求 x = x( p, r) 满足需求弱公理，就是要求总需求满足下述条件：对于任何( p, r), (q, s)，若 px(q, s) r 且 x( p, r) x(q, s)，则qx( p, r) s。我们将会看到, 即使在如此简单和具体的收入分配法则下，总需求也不一定满足需求弱公理。,1. 不服从弱公理的总需求事例,假定只有两种商品X 和 Y，也只有两个消费者A 和 B，总收入在他们之间平均分配：r1= r2 = r/2。A的需求映射为 x =( p, r ), B的需求映射为 y = ( p, r )，他们的个人需求都服从弱公理。,如右图所示： 价格体系从 p 变到 p，总收入 r 未变。 A的需求从 x = ( p, r/2)变到 x = ( p, r/2)： x x，p x r/2 ； B的需求从 y = ( p, r/2)变到 y = ( p, r/2)： y y，p y r/2 ； 总需求从 z = z( p, r) 变到 z = z( p, r)： z = x + y，z = x + y 。,令w = 0.5 ( x + y) = 0.5 z，w = 0.5 (x + y) = 0.5 z。依然如上图所示： w w，p w r/2，p w r/2 由此可见，z z, p z r, p z r。这说明：虽然个人需求服从弱公理，但总需求不满足需求弱公理。, ( p, r/2), ( p, r/2),y,y,x,x,w,w,p,p,2. 总需求不服从弱公理的原因,这个例子中总需求不满足弱公理的原因在于收入效应。根据瓦尔拉需求的性质，当总需求映射具有瓦尔拉性质时，总需求满足弱公理当且仅当总需求满足补偿法：任给( p, r), (q, s), 若s = qx( p, r)且x( p, r) x(q, s)，则( p q)(x( p, r) x(q, s) 0。 既然各个消费者的需求都满足弱公理，因此当价格从 p 变到 q时，只要每个消费者都能得到收入补偿以使实际收入水平不变，即只要 i s= si = qxi( p, i r)，就有( p q)(xi( p, r) xi(q, i s) 0且该严格不等式在 xi( p, i r) xi(q, i s) 时成立(i = 1,2,m)，从而( p q)(x( p, r) x(q, s) 0且该严格不等式在 x( p, r) x(q, s) 时成立。 问题就出在收入补偿上。价格变化后，总收入得到了补偿从而保证了经济的实际总收入水平不变：s = qx( p, r)。然而，按照分配法则，补贴后消费者的收入变为 si= i s，而这个收入水平并不能保证消费者 i 的实际收入水平不变， 即不能保证 si = qxi( p, i r) 成立，也就是说，对总收入进行补偿并不意味着各个消费者都得到了应有的补偿，从而不等式( p q)(x( p, r) x(q, s) 0未必成立。这就是总需求不服从弱公理的原因所在。,i,3. 需求法则,找到了总需求不服从弱公理的原因，我们就可对症下药，从修改补偿法着手，对总需求提出一些限制条件，使得需求弱公理能够从个人需求传递到总需求。为此，我们提出需求(无补偿)法则。,需求法则 需求映射 : X 满足如下条件：对于任何价格体系p, q 及收入 r, 只要 ( p, r) (q, r), 就有( p q)( p, r) (q, r) 0。,k,命题 设需求映射 x = ( p, r) 可微，x/p = (xh/pk )。 如果 : X 服从需求法则, 则对任何价格体系 p 及收入 r, 矩阵 x/p 半负定。 如果对任何( p, r), 矩阵 x/p 都负定, 则 : X 服从需求法则, 并且只要 p q, 就有( p, r) (q, r)。,命题 设需求映射 : X 满足齐次性公理和瓦尔拉公理。如果 服从需求法则，则 满足需求弱公理。,此命题阐明了需求无补偿法则与需求弱公理之间的关系。把此命题应用于总需求映射，则可得到总需求与弱公理之间的关系。,4. 总需求服从弱公理的条件,命题 在收入分配法则 ri = i r (i = 1,2,m) 下： 如果每个消费者的需求映射都满足需求法则，那么总需求映射也满足需求法则。 如果每个消费者的需求映射都满足需求法则，并且具有零阶齐次性和瓦尔拉性质，则总需求映射满足需求弱公理。,需求法则对需求的要求究竟有多强？显然，效用最大化并不能保证消费者个人需求服从这个法则，从而不能保证经济的总需求满足需求弱公理。 经研究发现，当偏好具有同比性质时，基于偏好的需求就服从需求法则。所谓偏好的同比性 (homothetic property)，是指对任何 x, yX 及任何实数 0，若 x y，则 x y。 什么样的偏好才能具有同比性呢？可以证明，当偏好关系能够用( k阶)齐次效用函数来表示时, 该偏好就是同比偏好。可见，让消费者需求服从需求法则，进而保证总需求满足弱公理的偏好同比性要求，对消费者个人来说并不算是太过分的要求。,(三) 消费者代表,回答了第一、第二个问题之后，接下来讨论第三个问题：总需求的社会福利意义是什么？这个问题的实质是：作为价格和总收入的函数的总需求，能否看成是某个虚构的消费者的需求？如果答案是肯定的，那么就可利用这个虚构消费者的偏好来分析社会福利。 说消费者代表是虚构的，是说实际上并不存在这个消费者，但整体经济的总消费活动就好像发生在了这个虚构的人身上，好像是他在代表整体经济进行消费。从这个意义上讲，消费者代表是从对整体经济活动的分析出发，从实证经济学的意义上构造出来的。 构造消费者代表的目的主要是分析经济福利问题，而社会福利属于规范经济学的范畴。这样，我们就需要进一步讨论从实证经济学意义上构造的消费者代表的规范经济学意义。 把消费者代表从实证意义和规范意义上加以区分，这对于正确理解消费者代表的概念是有益的。 我们还是从收入分配法则 ri = f ( p, r) (i = 1,2,m)出发。在这个法则下，总需求是价格和总收入的函数：,i,1. 实证意义上的消费者代表,总需求 x = ( p, r) 也是从 到 X 的映射，即 : X 。如果这个映射能看成是某个消费者的需求映射，那么意义就非同一般了。 定义 如果存在总消费集合X 上的偏好关系 ，使得总需求映射 : X 成为基于偏好 的需求映射，则称( X , )为实证意义上的消费者代表，或称为总需求的消费者实证代表，也简称消费者代表。 注意，消费者代表是一种理论构造，是虚构的消费者，现实中可能没有一个消费者的需求能与总需求相同。,设 X i 是消费者 i 的消费集合( i = 1,2,m )。则整个经济的总消费集合 X 为：,对于任何价格体系 p，令 Ii( p) = min p x : xX i ( i = 1, 2, m )，I( p) = min p x : xX 可以证明： 。,定理 如果各个消费者的消费集合X i 都是商品空间R 的下有界非空闭凸子集，则总消费集合 也是下有界非空闭凸集。,2. 规范意义上的消费者代表,为了讨论消费者代表的社会福利意义，需要引入社会福利函数概念。直观上讲，社会福利函数是一个把所有消费者个人获得的效用水平综合成为社会福利指标的函数。严格地讲，即下面的定义：,定义 社会福利函数是这样的一个函数 ，它给全部 m个消费者的每一种可能的效用水平向量(u1, u2, um)都指定了相应的一个效用值(社会福利指标)W(u1, u2, um)。,社会福利函数准确表达了社会根据个人消费水平所作出的社会福利水平评价。对于社会福利函数，一般都要假定社会福利函数是可微的、递增的凹函数。这个假设的意义在于： 首先，只要有一部分人的效用水平提高，同时其他人的效用水平不会下降，那么社会福利水平就得到了提高。 其次，一味提高个别人的效用水平，而让其余人的效用水平都不变，那么每提高一个单位的个人效用所带来的社会福利的增加量将越来越少，这就是社会福利函数为凹函数的意义所在。 最后，要求社会福利函数可微，就是说能够计算个人福利增加所带来的边际社会福利的多少。,政府实施