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文档简介

第八章 多元函数微分学 8.1 多元函数的极限与连续 8.2 偏导数 8.3 全微分 8.4 多元复合函数微分法 8.5 隐函数的微分法 8.6 多元函数微分法在几何上的应用 8.7 方向导数和梯度 8.8 多元函数的极值 8.9 * 二元函数的泰勒公式 8.10 * 最小二乘法,8.1 多元函数的极限与连续,8.1.1 平面点集的知识,有序实数对集 ：,“ 有序实数对 ”,与 “ 平面上的点 ” 不加区别 .,例如：,二维空间：,1. 邻域,定义,邻域 .,空（去）心邻域 :,2. 内点：,4. 界点：,3. 外点：,边界,内点,5. 聚点:,(a) 内点一定是聚点；,注：,例:,(b) 点集 的聚点可以属于 ，也可以不属于 ,6 . 开集：,如：,是开集 ,7 . 闭集：,例如：,是闭集 ；,不是开集，也不是闭集 ；,而 既是开集，又是闭集 ；,8. 开区域：,例如:,是开区域；,9. 闭区域：,是闭区域；,连通的开集称为开区域 .,而 既是开区域，又是闭区域 .,是有界闭区域；,是无界开区域,例如，,10. 有界点集：,无界点集：非有界点集.,11. 区域的直径：,设,邻域：,中 内点、边界点、区域、聚点等概念可类似定义,维空间中两点间距离公式,8.1.2 多元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,定义,注,由于此处定义的多元函数的值是实数，,定义中的函数也称为数量值函数,（以后还要讨论向量值函数）.,例1 求 的定义域,解,所求定义域为:,解,二元函数 的图形,（如下页图）,称为二元函数 的图形.,二元函数的图形通常是一张曲面 .,例3. 球面,可确定两个二元函数,二元函数:,8.1.3 多元函数的极限,定义,二重极限,注,定理,例1 证明,证,当 时，,原结论成立,其值随 k 的不同而变化，,此时，不能断定极限存在 ！,证,例4 证明 不存在,若取,此时，不能断定极限存在 ！,故 不存在,其中,例5 求下列极限：,8.1.4 多元函数的连续性,定义,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称为多元初等函数,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域 D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,解,多元函数极限的概念,（注意趋近方式的任意性）,小 结,多元函数的
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