《导数及其应用》PPT课件.ppt

导数及其应用,1导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景 （2）理解导数的几何意义,2导数的运算 （1）能根据导数定义，求函数 的导数,（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 的导数. 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式： .,3导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次 （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次 4. 生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题,知识体系构建,本章考点是： 利用导数求函数的极值； 利用导数求函数的单调区间； 利用导数求函数的最值； 利用导数证明函数的单调性； 导数在实际中的应用； 导数与函数、不等式等知识相融合的问题； 导数与解析几何相综合的问题；,知识梳理,1.导数的概念 （1）平均变化率：已知函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有改变量x，那么函数y相应地有改变量y= _ , 比值 就叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率。 （2）函数在x=x0处导数的定义：一般地，设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0的附近改变量为x时，函数值的改变量为y=_，如果x趋近于0时，平均变化率 =_趋近于一个常数m，即,一. 导数的概念及其运算,_,这个常数m叫做 函数f(x)在点x0处的瞬时变化率. 函数f(x)在点x0处的瞬时变化率又称为函数y=f(x)在x=x0处的导数. 记作： _ 或_ 即： _ 如果函数y=f(x)在x0处有导数（即导数存在），则说函数f(x)在x0处可导 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的，则说函数f(x)在区间（a,b）可导.,（3）导函数的定义： 表示函数的平均改变量，它是x的函数，而 表示一个确定的数值，即_.当x在区间（a,b）内变化时， 便是x的 一个函数，我们称它为f(x)在(a,b)的导函数（简称导数）.y=f(x)导函数有时记作y，即 _.,2导数的几何意义及物理意义 （1）函数f(x)在点x0处导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程是： （2）导数的物理意义：位移函数s=s(t)在t0处的导数s(t0)是 函数s=s(t)在时刻t0时代瞬时速度 ，即 v= s(t0) ,速度函数v=v(t)在t0处的导数v(t0) 函数v=v(t)在时刻t0时代瞬时加速度 ，即 a= v(t0) .,3导数的运算 （1）几种常见函数（基本初等函数）的导数：c=0 (c为常数） ，（xm) = _. 特别地： _ ; _; _; _; _; _; _; _;,（2）导数的四则运算法则 和、差的导数： _ (口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 积的导数： _ （口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 若c为常数，则 _. 商的导数： _. (口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导， 中间是负号),基础自测,1.（2009年全国卷）曲线 在点(1,1)处的切线方程为 A. x-y-2=0 B. x+y-2=0 C. x+4y-5=0 D. x-4y-5=0,1.解析： 故切线方程为 ，即 ，故选B. 答案：B,2.（2009年宁夏海南卷）曲线 y=xex + 2x + 1 在点(0,1)处的切线方程为_ ,2.解析： ，斜率 ， 所以， ，即 . 答案:,3. (2008年北京卷)如下图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 _； _(用数字作答）,3.解析：由A(0,4),B(2,0)可得线段AB所在直线的方程为f(x)= -2x+4(0x2).同理BC所在直线的方程为f(x)=x-2(2x6). 所以 所以f(0)=4,f(4)=2. 答案：2，-2,4(2009年广州调研)如下图所示，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y= - x +8，则f(5)=_，f(5)=_.,4. 答案：3，-1,设函数f(x)在x=2处可导，且f(2)=1，求 分析：利用导数的定义，可容易求得. 解析：由已知条件和导数的定义，可得：,点评：在对导数的定义理解时，要注意 中x的变化形式.,设函f(x)在x=a处可导，则 ， 此结果作为导数定义的另一种形式，与导数的定义无关， 我们可以证明之：令 x = a + x，则当 x a 时，x0，,变式探究,1.已知 ，则 _. 答案：-1.,求函数的导数 ,解析：,先使用三角公式进行化简，得,先化简，, 是由函数 复合而成的，,注意：求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.,变式探究,2.求下列函数的导数 ,2.解析：,（2009年全国卷）已知直线 y=x+1 与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为 A.1 B.2 C.-1 D.2,解析：设切点P(x0,y0)，则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又 答案：B 点评：切点的三重身份：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线斜率.,变式探究,3. （2009年江西卷）设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为 A. 4 B. -1/4 C. 2 D. -1/2,3.解析：由已知g(1)=2,而f(x)=g(x)+2x, 所以f(1)=g(1)+2x1=4 答案：A,1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 （1）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)是一个常数； （2）函数y=f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的.如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点x都可导，是指对于区间（a,b）内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f(x0).这样就在开区间(a,b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f(x).在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数. (3)函数y=f(x)在x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x=x0处的函数值.即f(x0)=f(x)|x=x0.,2.利用导数的定义求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的改变量: （2)求平均变化率: （3取极限，得导数: 简记为:“一差、二比、三极限”.,（2009年湖北卷）设球的半径为时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）A. 成正比，比例系数为cB. 成正比，比例系数为2c C. 成反比，比例系数为cD. 成反比，比例系数为2c 解析：由题意可知球的体积为 ，则c=V(t)= 4R2(t)R(t)，由此可得 ，而球的表面积为S(t)=4R2(t)， 所以v表S(t)=(4R2(t)=8R(t)R(t)， 即 答案：D,已知抛物线C: y=x2+4x+7/2，过C上点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线. (1)若C在点M的法线的斜率为1 /2，求点M的坐标（x0,y0）; (2)设P(2,a)为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由. 解析：（1)函数y=x2+4x+7/2的导数y=2x+4，抛物线C上点M(x0,y0)处切线的斜率k0=2x0+4，因为过点(x0,y0)的法线斜率为1/2，所以1/2(2x0+4)=1，解得 x0=1,y0=1/2，故点M的坐标为(1,1/2).,（2）设M(x0,y0)为C上一点， a.若x0=2，则C上点M（2,1/2）处的切线斜率k=0，过点M（2,1/2）的法线方程为x=2，则此法线过点P(2,a)； b. 若x02，则过点M(x0,y0)的法线方程为： 若法线过P(2,a)，则 即 (x0+2)2=a， ,若a0，则 ，从而 ，将上式代入，化简得： , ， 若a=0与x02矛盾，若a0，则式无解. 综上，当a0时，在C上有三点， , 及 在这三点的法线过P(2,a)，其方程分别是： ; ;,题型训练,1.(2009年陕西卷)设曲线y=xn+1(nN*)在点（1，1）处的切线与x轴交点的横坐标为xn,令an=lg xn，则a1+a2+a99的值为_. ,1.解析:点(1,1)在函数y=xn+1(nN*)的图像上,所以(1,)为切点, y=xn+1的导函数为 切线是：y-1=(n+1)(x-1),令y=0得切点的横坐标： ， 答案：-2,2.已知曲线 y=2xx3上一点M(1,1)，求： （1）点M处的切线方程； （2）点M处的切线与x轴、y轴所围成的平面图形的面积.,2.解析：（1）y= 2 - 3x2, K切= yx=-1= 2 3(-1)2=-1， 所以切线方程为:y+1=-1(x+1)，即 x+y+2=0. （2）对x+y+2=0，令x=0，y=-2，或y=0，x=-2， 所以SABC=1/222=2,知识梳理,1函数的导数与函数的单调性的关系 （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y0，那么函数y=f(x)在这个区间内为 增函数；如果在这个区间内y0，那么函数y=f(x)在这个区间内为减函数. （2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果函数y=f(x)在这个区间内为增函数，那么在这个区间内y0；如果函数y=f(x)在这个区间内为减函数.那么在这个区间内y0 .,二 导数在研究函数中的应用,（3）求可导函数的单调区间的一般步骤和方法 确定函数f(x)的定义域； 计算导数f(x) ，令f(x)=0，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； 把函数 f(x) 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把f(x) 的定义域分成若干个小区间； 确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数 f (x) 在每个相应小区间的增减性（若f(x) 0,则f(x)在相应区间内为增函数；若f(x) 0,则f(x)在相应区间内为减函数.）,2. 函数的极值 （1）函数极值的定义 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是 函数f(x)的一个极大值 ，记作 y极大值= f(x0) ，x0是 极大值点. 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0).就说 f(x0)是函数f(x)的一个极小值 ，记作 y 极小值= f(x0) ，x0是 极小值点 .极大值与极小值统称为极值.（2）判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若x0满足f(x0)=0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“ 左正右负 ”，则 x0是 f(x)的极大值点 ，f(x0)是 极大值 ；如果f(x)在x0两侧满足“ 左负右正 ”，则x0是 f(x) 的极小值点，f(x0)是 极小值 .,（3）求可导函数f(x)的极值的步骤: 确定函数的定义区间，求 导数f(x) ； 求方程 f(x)=0 的根； 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成 若干小开区间 ，并列成表格. 检查f(x)在 方程根左右的值得符号 ，如果左正右负 ，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果 左负右正 ，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右 不改变符号 ，那么f(x)在这个根处无极值 .,3函数的最大值与最小值 （1）函数的最大值与最小值： 在闭区间a,b上图象连续不断的函数f(x)在a,b上 必有 最大值与最小值 （2）利用导数求函数的最值步骤:设函数f(x)在（a,b）内可导，在闭区间a,b上图象连续不断，求函数f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下： 求f(x)在(a,b)内的 极值 ； 将f(x)的各 极值 与 f(a) 、 f(b) 比较，得出函数f(x)在a,b上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,基础自测,1.已知实数a,b,c,d成等比数列，且曲线y=3xx3的极大值点坐标为(b,c)，则ad= A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 2.（2008年广东卷）设aR，若函数y=eax+3x，xR有大于零的极值点，则 Aa3 Ba1/3 Da1/3,A 解析：易求得f(x)=3 +aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f(x)=3 +aeax=0有正根，当有f(x)=3 +aeax=0成立时，显然有a 0我们马上就能得到参数a的范围为a3. 答案：B,3. （2009年湖南卷）若函数y=f(x)的导函数在区间a,b上是增函数，则函数y=f(x)在区间a,b上的图象可能是,4.若函数h(x)=2xk/x + k/3 在(1,+)上是增函数，则实数k的取值范围是_.,3.解析:因为函数y=f(x)的导函数y= f(x)在区间a,b上是增函数，即在区间a,b上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A.注意C中y =k为常数. 4.-2,+),设kR，函数 ，F(x)=f(x)kx，xR，试讨论函数F(x)的单调性,变式探究,1.（2009年北京卷）设函数f(x)=xekx(k0)，求函数f(x)的单调区间.,(2009年陕西卷)已知函数 ， 其中a0. (1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； (2)求f(x)的单调区间； (3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围., , ,变式探究,2.（2009年湖南卷）已知函数f(x)=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称. （1）求b的值； （2）若f(x)在x=t处取得极小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域.,当x0时，证明不等式：1+2xe2x. 分析：假设构造函数f(x)=e2x12x.因f(0)=e0-1-0=0,如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以得到证明.,证明：令f(x)=e2x-1-2x. f(x) =2e2x-2=2(e2x-1). x0, e2xe0=1, 2(e2x-1)0,即f(x) 0. f(x)=e2x-1-2x在（0，+）上是增函数. f(0)=e0-1-0=0. 当x0时，f(x)f(0)=0,即e2x-1-2x0. 1+2xe2x. 点评：通过构造函数，利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x赋值，利用单调性证明不等式，这也是证明不等式的一种有效方法.,变式探究,3.已知 x1，证明不等式：xln(1+x)； 证明：令f(x)=x-ln(1+x)，则 x1, f(x) 0, f(x)在(1,+)上为增函数， 当x1时, f(x)f(1), 即x-ln(1+x)1-ln20, xln(1+x).,（2008年江苏卷）某地有三家 工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、 B及CD的中点P处，已知AB=20 km， BC=10 km，为了处理三家工厂的污 水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm. （1）按下列要求写出函数关系式： 设BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；,设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短. 解析：（1）由条件知PQ垂直平分AB，若BAO=(rad)，则 ， 故 ， 又OP=1010 tan， 所以 ，,所求函数关系式为 ； 若OP=x(km)，则OQ=10-x， 所以， 所求函数关系式为 （2）选择函数模型，,令y=0得 当 时y0，y是的增函数； 所以当 时， ， 此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边 km处.,变式探究,4. （2008年广东卷）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房. 经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用， ,温馨提示,1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0（或f(x)0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件.在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f(x)0(或f(x)0)，x(a,b)恒成立，且f(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数,的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由f(x)0(或f(x)0)，x(a,b)恒成立解出的参数的取值范围确定. 2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：求函数f(x)的导数f(x)；令f(x)0，解不等式得x的范围就是递增区间；令f(x)0，解不等式得x的范围，就是递减区间. 3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论.,4.由极值的定义可知，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.此外请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念.由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （2）函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值，,如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)f(x1).,（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.,（5）可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是极值点. （6）函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导.如函数y=|x|在x=0有极小值，但在x=0处不可导,即导数不存在. 5.对于函数的最值问题，应注意以下几点： （1）在闭区间a,b上图象连续不断的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值 （2）在开区间(a,b)内图象连续的函数f(x)不一定有最,大值与最小值如函数 在(0,+)内连续，但没有最大值与最小值. （3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的 （4）函数f(x)在闭区间a,b上的图象连续不断，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件如函数 在1,1上有最大值，最小值，（最大值是0，最小,值是-2），但其图象却不是连续不断的（如下图）.,(5)函数在其定义区间上 的最大值、最小值最多各有 一个，而函数的极值可能不 止一个，也可能没有一个. （6）若函数f(x)只有一个 极值，则必为最值.若函数f(x)在闭区间a,b上递增，则f(x)min=f(a)，f(x)max =f(b)；若函数f(x)在闭区间a,b上递减，则f(x)min=f(b)，f(x)max=f(a).,题型展示台,（2008年江苏卷）f(x)=ax33x+1对于x1,1总有f(x)0成立，则a=_. 分析：本小题考查函数单调性求最值以及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想. 解析：要使f(x)0恒成立，只要f(x)min0在x1,1上恒成立. f(x)=3ax23=3(ax21), （1）当a=0时，f(x)=3x+1，所以f(x)min=20，不符合题意，舍去. （2）当a0时，f(x)=3ax23=3(ax21)0，,即f(x)单调递减，f(x)min=f(1)=a20 a2，舍去.,当 ，即a1时，f(x)在x-1,1上单调递减， f(x)min=f(1)=a-20 a 2，不符合题意，舍去. 综上可知a=4. 答案：4,（2009年青岛质检)已知函数f(x)=lnx. （1）若 ，求F(x)的极大值； （2）若G(x)=f(x)2kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.,题型训练,1.（2009年三亚模拟）设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围 1.解析：法一：令g(x)=(x1)ln(x1)ax， 对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a， 令g(x)0，解得xea1