《导数竞赛辅导》PPT课件.ppt

导 数,一、导数定义式的几种等价形式,左导数、右导数：,二、判定函数在某点是否可导的主要方法,1.根据可导的定义,2.根据可导的充要条件,3.根据可导的必要条件,直接由定义考虑,或,是否存在,考虑左右导数,是否都存在且相等,考虑是否不连续,（连续不一定可导，但不连续一定不可导！）,三、必须用定义求导数的情形,1. 分段函数在分段点处的导数,2. 含有绝对值符号的函数在绝对值为零的点处的导数,3. 仅知函数 在一点可导，,【注】,某些“乘积型”的复杂函数用定义求导较方便。,不知在该点的附近（一个邻域）是否可导,四、常数和基本初等函数的求导公式,特别地：,4. 隐函数的求导法则,5. 由参数方程所确定的函数的求导法则,6. 对数求导法,7. 分段函数的求导法 非分段点处按法则求导，分段点处按定义求导,1. 导数的 + 、-、 运算法则,2. 复合函数的求导法则,3. 反函数的求导法则,五、求导数的主要法则,六、 导数的几何意义,在点,的切线斜率,切线方程:,法线方程:,注：,七、求高阶导数的主要方法,（1）逐次求导归纳法；,（2）n 阶导数的公式及求导法则；,注：求一点处高阶导数 的好方法,-函数的幂级数展开（以后学）,常用的 n 阶导数公式,(1),(2),(3),(4),（k为正整数。）,（a 为常数）,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),上式称为莱布尼兹(Leibniz) 公式。,2.高阶导数的运算法则,八、可微、可导、连续、极限的关系,可微,可导,连续,极限存在,九、奇函数、偶函数、周期函数的导数,单调函数的导数不一定是单调函数。,【注】,可导奇函数,的导数,是偶函数,可导偶函数,的导数,是奇函数,可导周期函数,的导数,是周期函数,且,与,有相同的周期,例1,在 有定义.,当,是否可导？,时，,？,在 R 上定义，,证明：在 R 上,例2.,证,对任意,例3.,解,是偶函数，在,求,处可导，,下列解法错误：,的导数,是奇函数,代入,例4.,正确思路：,导数定义。,是偶函数，在,求,处可导，,例4.,解,在,处连续, 且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导。,例5. 设,故,存在,解: 因为,例6. 设,求,所以,。,例7,设,，求 a，b，c,处,使,在,一阶导数连续，二阶导数不存在.,存在的最高阶数 n=？,例8.,，,解:,例9. 设,求,解:,方法1 利用乘法公式.,方法2 利用乘法公式.,例9. 设,求,解:,方法3 利用导数定义.,例9. 设,求,解:,例10. 设,证：在,.,处：,，,二阶可导，,例11,设,处二阶可导，求,处处可导，在,时，,解:,例11,设,处二阶可导，求,处处可导，在,时，,解:,例12. 求,的导数 .,解:,例13.,，,设曲线的极坐标方程为,处的切线方程.,求曲线上,思路：,把极坐标方程转化为参数方程，,求出导数,解：,的参数方程为,例13.,设曲线的极坐标方程为,处的切线方程.,求曲线上,，切点坐标,切线方程,例14.,证明：两条心形线,在交点处切线互相垂直.,交点：,在交点处的斜率：,在交点处的斜率：,解:,确定,例15. 设,由方程组,求,例16. 设,求,用多项式除法得,解:,例17.,求,处的100阶导数。,例18. 设,求,。,解:,例19., 求,解:,例20.,求,解:,例21. 设,，求,求,时，,x 是自变量，,y 是 x 的函数,解:,例21. 设,，求,求,时，,y 是自变量，,x 是 y 的函数,解:,三阶可导，,用,表示,例22.,，,，,解:,作变换,，求