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常系数,第五节,齐次线性微分方程,第五章,一、二阶常系数齐次线性方程解法,二、n阶常系数齐次线性方程解法,一、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,( r 为待定常数 ),和它的导数只差常数因子,称为微分方程的特征方程,其根称为特征根.,n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式, 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,( u (x) 待定), 有一对共轭复根,得齐次方程的通解为,特征根为,这时原方程有两个复数解:,根据欧拉公式,利用解的性质可得原方程的线性无关特解:,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征根法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,小结:,特征方程:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性齐次微分方程 .,二、n阶常系数齐次线性方程通解,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,例3,的通解.,解 特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例4,解 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不难看出, 原方程有特解,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例5,作 业 P 384 1(3) 2(1)(2)(3) 3(1)(3)(5) 4,三、小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,
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