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中南财经政法大学信息系,第一节 方阵的特征值与特征向量,第五章 矩阵的特征值 与特征向量,（3）称A的特征多项式的根，即 的根 为A的特征值；,求方阵的特征值与特征向量的方法：,第一步：求出A的特征多项式 ；,第二步：求出代数方程 的n个根，即得A的n个特征值（其中可能出现重根，包括重根在内共有n个）；,第三步：对每个特征值 ，求出齐次线性方程 组 的基础解系，即属于 的极大无关特征向量组： ；,第四步：作线性组合 （ 不全为零），它就是A的属于 的全部特征向量。,解,例1,例2 求3阶方阵 的特征值与特 征向量。,解：A的特征多项式为：,故A的特征值为： （二重）。,对于 而言，求解齐次线性方程组 即,得它的一个基础解系：,故A的属于 的所有特征向量为,对于 而言，求解齐次线性方程组,即,得它的一个基础解系：,练习题,求A的特征值与特征向量,解,得基础解系为：,性质1 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量,性质2 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值,特征值和特征向量的性质,性质3,证明：用归纳法证明， 时，一个非零向量必定线性无关，结论成立。,将（5.8）式两边左乘A,又将（5.8）式两边乘以 ，得：,由归纳假设知 线性无关，故有：,但 ，从而 ，则,定理5.4 设 是方阵A的m个互异特征值， 是A的属于 的 个线性无关的特征向量（ ），则 必定线性无关。,推论 设方阵A有个m互异特征值 ， A的属于 的极大线性无关特征向量组中含有 个 向量，则： ，且等号成立的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。,证明：,例3,例4 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 的特征向量，则,推广：,例5 设三阶矩阵A的特征值为1，2，3，求下列矩 阵B的特征值：,例6,解：,四、特征值与迹,证明：注意到A的特征多项式为：,易知特征多项式中 与 两项只可能出现在主对角线的乘积项中, 因此 前的系数必为： ；,而特征多项式的常数项为,即有,由多相式根与系数的关系（韦达定理）即得：,推论 方阵A非奇异（可逆）当且仅当A没有零特征值,例7 设A为三阶方阵，且满足：,，求,解：由定义5
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