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文档简介

一元微积分学,大 学 数 学（一）,第八讲 无穷小量、无穷大量,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。,第二章 函数的极限与连续性,第四节 无穷小量、无穷大量,一.无穷小量及其运算性质,二. 无穷大量,一、无穷小量及其运算性质,简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.,1.无穷小量的定义,定义,2. 函数的极限与无穷小量的关系,反之亦然.,由以上的分析, 你可得出 什么结论 ?,定理,同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量.,同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量.,3.无穷小量的运算法则,常数与无穷小量之积仍为无穷小量.,在某极限过程中, 以极限不 为零的函数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量.,在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量.,证,证明,(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).,(ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.,注意：,解,二. 无穷大量,定义,1.无穷大量的定义,解,无穷大量是否一定是无界量 ?,在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ?,但该数列是无界的.,当 x 时, 函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？,因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量.,2. 无穷大量与无穷小量的关系,( 无穷大量的倒数为无穷小量, x 0 ),( 无穷小量的倒数为无穷大量, x 0 ),则,在某一极限过程中,请自己根据定义自已进行证明.,定理,不是无穷大量,是无穷大量,两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?,考察,有界量与无穷大量的乘积,是否一定为无穷大量？,不着急, 看个例题:,有界量与无穷大量的乘积,是否一定为无穷大量？,不着急, 看个例题:,不一定再是无穷大量.,结论:
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