《晶格振动》PPT课件.ppt

晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动,第四章 晶格振动和晶体热学性质,如何处理晶体中原子的振动？,晶格动力学（经典理论）：原子的振动以波的形式（称为格波）在晶体中传播,有多少个基本的振动频率（模式数量）、波动的频率和波数的关系（色散关系）,晶格振动的量子理论：原子振动的粒子形式（声子）,应用：晶体的热容量,4.1 一维单原子链的振动,原子链共有N个原胞，每个原胞只有一个原子,每个原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常数a,原子沿链方向运动,第n个原子离开平衡位置的位移用un表示,第n个原子和第n+1个原子间的相对位移为,原子振动时，相邻两个原子之间的间距,一维单原子链,平衡时原子位于Bravais格点上,1、基本假设,原子围绕平衡位置作微振动,简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项,此时，两原子间的相互作用势能可表示为：,称为原子间恢复力常数,弹性力,在简谐近似下相邻两个原子间的作用力：,第n个原子受到的作用力为：,一维原子链的振动模型：被一个个弹簧连接起来的一串质量为m的球,2、一维单原子链的运动方程,只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力：,第n个原子的运动方程为,对于N个原子有N个完全类似的运动方程,运动方程为二阶常微分方程,3、运动方程的解,设方程的特解为：,q：波矢,大小等于 ，方向为波传播的方向 qna：第n个原子相对于参考点的位相差 qa：相邻原子的位相差,t时刻原点处原子相对于平衡点的偏移,特解具有波动形式（用波矢为q、频率为的简谐波来描述原子离开平衡位置的振动）,为了确定色散关系，把试探解带入运动方程得：,振动频率与n无关，色散关系对所有原子都相同,4、一维单原子链的色散关系,和q之间的关系称为色散关系,原子的振动以波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。一个格波表示晶体中所有原子一起参与的共同振动。在简谐近似下，格波为平面波。,5、波矢q的取值范围,波矢q和,描述同样的振动状态：,为了保证xn的单值性，把q限制在,格波q的不唯一性的图示,6、周期性边界条件,波恩卡门边界条件：将许多完全相同的原子链首尾连接成无穷长链，从而第N+1个原子就是第1个原子，第N2个原子就是第2个原子,独立波矢的取值范围在第一布里渊区,相差一个或几个倒格矢的波矢描述同样的振动状态,一个布里渊区包含的波矢数目,即对于一维单原子链，晶格振动波矢的数目等于晶体的原胞数,在FBZ，q取分立值，相邻两个波矢的间隔,是q的周期函数：,时，,（具有该特点的格波称为声学波）,7、一维单原子链色散关系的特点,波速（相速度）,群速,8、格波的波速和群速,布里渊区的中心附近，,波速,为常数，此时格波为弹性波,在布里渊区的边界上，一维单原子链格波的群速度为零：,根据弹性波的理论,波是一个驻波。,一个格波表示整个晶体所有原子都参与的振动，体系所有原子一起参与的共同振动，称为一个振动模。,波矢为q的格波t时刻在第n个原子处产生的位移量：,所有格波在第n个原子处产生的总位移量：,4.2 一维双原子链的振动,晶格常数a ，共有N个原胞，每个原胞有两个原子，质量分别为M1、M2，交替放置形成一维周期结构。链上的原子由其所属的原胞数n及在基元中的序号p1，2来标记。,一维双原子链的结构,如图所示，设A、B两种原子组成一无限的一维周期晶体，画出其晶格的原胞。,基元,仍然采用简谐近似和最近邻近似，原子的运动方程为：,设方程组有如下的格波解：,共有2N个,不同类原子的振幅不同，但以相同的频率振动,1、运动方程和格波解,把试探解带入运动方程，有：,A、B有非零解的条件是上面方程组的系数行列式等于零：,每个波矢对应两个不同的频率，当q变化时，给出两条色散关系，称为两支，频率低的一支（取负号）称为称为声学波，频率高的一支（取正号）称为光学波。,2、色散关系,光学波,声学波,3、一维双原子链色散关系的特征,色散关系是倒格矢量的周期函数：,色散关系分成两支：一支是声学波，一支是光学波，光学波和声学波的频率各有一定的范围。,在声学波最小最高频率和光学波的最小频率之间有一频率间隙,当q0时，声学支的色散关系是线性的,光学支的频率近似为常数,4、声学波和光学波振动的特点,相邻原子振幅之比,声学支,光学支,声学支中，相邻原子的振动方向相同,光学支中，相邻原子的振动方向相反,长波时，,长声学波代表原胞质心的振动,长波时，,长光学波描述原胞内 原子之间的相对运动,双原子链在长波极限(q 0)的振动图像,光学波,在布里渊区边界,声学波：,光学波：,5、振动模式数（频率数）,波矢限定在第一布里渊区中,周期性边界条件下,一维双原子链：,晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数,一个波矢对应2个不同的频率，共有2N个振动频率，这2N个振动频率分为2支。,一个原胞中有r个原子，原胞数目,4.3 三维晶格的振动,第L个原胞中第S个原子离开平衡点的位移在坐标轴方向的分量,原子的质量：,第L个原胞中第s个原子运动方程为：,共有3rN,设方程的一个特解为,把试探解代入运动方程，得到以振幅Asa满足的3r个线性齐次联立方程：,它有解的条件是系数行列式等于0。由此可以得到一个2的3r次方程式，从而给出3r个解：,对于一个波矢q,有3r个（即有3r支色散曲线）,在3r支色散关系中，当q0时（长波）：,有三支 0，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。长声学波描述了原胞质心的振动。,其余(3r-3)支有有限的振动频率，为光学波。长光学波描述原胞内原子之间的相对运动。,q的值由周期性边界条件确定：,波矢的取值和波矢空间,把波矢q表示为倒格子空间中的一个矢量：,根据倒格基矢与正格基矢的关系可得,倒格子空间也称为波矢空间,在波矢空间中，许可的q值是一些分立的点，这些点在波矢空间是均匀分布的。,每个点在波矢空间占据的体积为 ：,相差一个或几个倒格矢量的波矢描述同样的振动状态,波矢空间中即q的密度为：,独立的波矢位于第一布里渊区,一个布里渊区可能有的q数目,晶格振动波矢的数目=晶体原胞数,（自由度数原子的个数坐标的维数 ）,晶格振动频率的数目=晶体内原子的自由度数,一个波矢对应的频率的数目=一个原胞内原子的自由度数,硅的色散关系,L：纵波，T：横波；A：声学波，O：光学波,横波的色散关系总是简并的,格波频谱密度（频率分布函数）,格波频谱密度定义为单位频率间隔内振动的频率数,频率数目为,波的群速度,3r支格波:,所以,因为,例题：一维单原子链的频率分布函数,q空间中q点的密度：,的波矢数目为,对应的频率数目为,晶体中原子在格点的微振动，可以用波矢为q、频率为的格波来描述。,总 结,在简谐近似下格波是平面波（简谐波），这些简谐波的存在是相互独立的。一个简谐波表示晶体中所有原子一起参与的共同振动。,波矢q并不是任意的。在周期性边界条件的限制下，波矢只能取一系列分立的值。独立的波矢q位于第一布里渊区，晶格振动波矢的数目等于晶体的原胞数。,根据色散关系在长波时的特征，3r支格波分成3支光学波，3r-3支声学波，光学波和声学波的频率各有一定的范围,长声学波长描述了不同原胞之间的相对运动，而长光学波描述了原胞内不同原子之间的相对运动,频率和波矢之间的关系称为色散关系。格波的色散关系在波矢空间具有倒格子的周期性和反演对称性,4.4 晶格振动的量子化、声子,以一维单原子链为例,一维单原子链的哈密顿量为：,哈密顿量有交叉项，即用原子的位移坐标描写时，位移之间是相互耦合的，不便于量子力学处理。,有没有更好的办法来描写这种振动？,采用简正坐标来描写原子的振动：寻求一适当的正交变换，将原子坐标转化为一组新的坐标，使哈密顿量无交叉项。,波矢为q的格波t时刻在第n个原子处产生的位移量：,所有格波在第n个原子处产生的总位移量：,把上式变换为如下形式,就是简正坐标！,可以证明，经过上式变换后，哈密顿量为：,式中,所以,可以证明，动量,因此体系的哈密顿量可表示为,为一个谐振子的能量！,H包含N项，所以共有N个独立谐振子。,要过渡到量子力学，还必须知道动量的表示,结论：N个原子组成的一维单原子链原子的微振动可以看成N个独立的以简正坐标描述的谐振子的运动,此结论可以推广到三维！,把Qq和Pq看成量子力学的共扼算符，并令,对于一个简正坐标，有：,其为一个量子谐振子的薛定谔方程,注意：量子谐振子的频率就是经典简谐振动的频率！,频率为的一个量子简谐振子，它的能量是量子化的，只能是：,谐振子的能量是量子化的，当晶格体系的能量变化时，对应于任一个频率的谐振子，能量的改变都是 的整数倍，即能量的激发单元为,声子：晶格振动的能量量子，是原子振动的粒子形式（运动的粒子表述）,频率为、波矢为q的格波,频率为的量子谐振子,能量为 、准动量为 的一种声子,可以把晶格微振动表述为具有能级 的声子组成的体系。,频率为的量子简谐振子，其平均能量：,波色爱因斯坦统计,式中,波色爱因斯坦统计,声子的激发依赖于温度，对于给定的温度T，被激发的主要是那些能量 的声子,热平衡时声子占据能级 的几率：,声子的特征,晶格振动的能量量子，是一种准粒子。,能量 ，动量 ，质量没有定义。,是波色子，每个能态上容纳的声子的数目没有限制，晶体内可以有任意数目相同能量的声子，声子的数目不守恒。,T=0K时任何一种声子的数目为零。对于给定的温度T ，一种声子的平均数目服从波色爱因斯坦统计。,在处理其它形态粒子和格波的相互作用时，可以把作用过程理解为与声子的相互碰撞过程。例如，电子与晶格振动的相互作用，就可以看成电子与声子的相互作用。作用时，它们以h为单元交换能量。若电子从晶格获得能量h，称为吸收一个声子，若电子给晶格能量h，称为发射一个声子。,晶格振动的总能量等于3rN个独立的量子简谐振子的能量之和,格波对中子、X射线、光子的散射，可以表述为吸收或发射声子的过程。散射过程要满足能量守恒和动量守恒：,为了测量晶格的色散关系，入射粒子的能量和动量应和声子相近，这样吸收或放出一个声子，入射粒子能量和动量才有较大的改变，从而便于测量。,4.5确定晶格振动谱的实验方法,固体热容的定义： 一种物质温度每升高（或降低）一度所需要（或放出）的能量，称为该物质的比热（热容） 在热力学中，固体的定容比热定义为：,固体的平均内能 固体的体积,固体热容的来源 原子热振动，称为晶格热容 电子热运动，称为电子热容,本节研究的对象,4.6 晶格比热（热容）,高温区：单原子晶体比热是一个与温度和材料性质无关的常数，称为杜隆珀替定律（1818年）,晶格热容的实验结果,铝,铜,低温区：晶体热容不再是常数，而是随温度下降很快趋于零。例如实验发现绝缘体晶格的比热在低温区依T3规律变化。,是一个常数！与杜隆珀替定律符合。,经典理论对晶格热容的解释及其困难,经典理论：N个原子的微振动可以由3N个的独立的谐振子描述，谐振子每一个自由度分配到的平均能量为 ，晶体总平均热能为 ，其摩尔热容为：,但经典物理无法解释在低温区晶格热容与温度有关，且在低温下趋于零这一事实。,N个原子的微振动可以由3N个量子谐振子描述，晶格的总能量是3N个量子谐振子能量的总和：,晶格热容的量子理论,晶格比热,关键在于求出晶格振动的模式密度！,爱因斯坦模型（1907年）,所有原子都以相同的频率 振动，格波频谱密度为：,与经典的杜隆珀替定律一致,热容随温度指数下降,爱因斯坦模型与实验比较,定性上是完全正确的：在高温区符合杜隆珀替定律，低温区比热趋于零。 定量上偏差是因为过于简化的声子频谱假设造成的。,基本假设1：忽略光学波对热容的贡献，将声学波作为弹性波来处理，假设声学波的色散关系为 基本假设2：对比热有贡献的声子有一个截止频率，称为德拜频率 ，德拜频率由总自由度数确定：,德拜（Debye）模型（1912年）,德拜模型的频率分布函数,一支格波,根据德拜德假设，,共有三支声学波，假设它们的速度相同，有：,根据德拜模型的假设3，可以得到德拜截止频率：,德拜模型中的晶格比热,晶体的摩尔热容量为,在德拜模型中，晶体比热特征完全由其德拜温度确定,德拜温度定义,用德拜频率表示频率分布函数,德拜模型的高、低温极限,High T,高温时，比热趋于经典极限,Low T,极低温下晶格比热正比于T3, 称为德拜T3定律,德拜模型与实验比较,如何确定德拜温度？,德拜温度：量子与经典的分界线,求出晶体的弹性速度，再按照德拜频率的定义计算德拜温度；,用理论计算结果拟合实验结果，使理论的比热和实验值尽可能符合的好，以得到德拜温度。,晶格的简谐振动不能解释晶体热膨胀、热传导等现象,4.6 晶格振动的非谐效应,（但在简谐近似下，声子之间没有相互作用，不交换能量）,热膨胀是在没有压力的情况下，晶体体积随温度的变化。,热传导是指当晶体中温度分布不均匀时，就会有热能从高温处向低温处流动。,（但在简谐近似下，原子振动的平衡位置没有变化，即原子间的距离与温度无关）,热膨胀和热传导现象与晶格振动的非谐效应有关,原子间的相互作用势能的高次项（指三次及更高阶项）叫非简谐效应 。,若相互作用势中的高次项很小，可以将其看成量子力学的微扰。微扰导致声子间发生相互作用（声子之间相互碰撞）,可以用声子之间相互碰撞来处理非谐效应,声子通过碰撞交换能量，并使其分布达到热平衡,声子间的碰撞,势能的3次项对应三声子过程：,1个声子分裂成2个声子,2个声子合成为1个声子,两个声子碰撞后（湮灭）产生另一个声子,一个声子（湮灭）分裂成两个声子,以两个声子碰撞产生另一个声子的三声子过程为例 ：,其中,为倒格子矢量,都在第一布里渊区内,声子间的碰撞必须满足能量守恒和动量守恒,正常过程或N过程，在此过程中声子的总动量没有变化，只是改变了动量的分布,布里渊区,N过程,翻转过程或U过程，在翻转过程中声子动量有很大的变化,U过程,晶体热膨胀和热传导现象的晶格振动理论解释,热膨胀和热传导现象与晶格振动的非谐效应有关,当考虑到晶格振动的非简谐效应后，原子的平衡间距将随着温度的升高而增大，导致晶体体积的热胀冷缩。,热传导可以用声子从高温区向低温区的扩散来描述。在高温区，声子密度大、能量高。在低温区，声子密度小、能量低。当声子从高温区向低温区扩散中，把热能量传递到低温区，形成热传导。对热传导起主要作用的是U过程。,主要内容：晶体中原子的运动,基本假设？,得到的结果？,色散关系 声子,爱因斯坦模型 德拜模型,运动图像？,原子在平衡位置（格点）做微振动,数学处理（一维双原子链）,简谐近似,原子微振动被描述为一系列线性独立的谐振子,基本公式,频谱密度,总