《概率统计》PPT课件.ppt

2.2 连续型随机变量及其分布,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,一. 连续型随机变量,定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得,其中F ( x )是它的分布函数,则称 X 是 连续型 r.v. ，f ( x )是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简记为d.f.,分布函数与密度函数 几何意义,p.d.f. f ( x )的性质,在 f ( x ) 的连续点处，,判定函数 f (x)是否 为r.vX的概率密度 函数的充要条件.,注意: 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生),连续型r.v取任一指定值的概率为0,即：,a为任一指定值,这是因为,需要指出的是:,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B = S,对于连续型 r.v. X,由上述性质可知，对于连续型随机变量， 关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题,二. 常见连续型随机变量的分布,(1) 均匀分布,若 X 的 d.f. 为,则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布,记作,X 的分布函数为,即 X 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的 概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比. 这正是几何概型的情形.,例,(2) 指数分布,若 X 的d.f. 为,则称 X 服从 参数为 的指数分布,记作,X 的分布函数为, 0 为常数,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似,若 X (),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,例,有没有更简便方法？,(3) 正态分布,若X 的 d.f. 为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数，,亦称高斯 (Gauss)分布,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,正态分布 的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点, 位置参数, 形状参数,f (x) 的性质：,图形关于直线 x = 对称, 即,在 x = 时, f (x) 取得最大值,在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的 点处有拐点,曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线,曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状,f ( + x) = f ( - x),各种测量的误差； 人体的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生的考试成绩；,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布,正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的,正态分布可以作为许多分布的近似分布,正态分布由它的两个参数和唯一确定， 当和不同时，是不同的正态分布.,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,一种重要的正态分布,是偶函数，分布函数记为,其值有专门的表供查., 标准正态分布N (0,1),密度函数,-x,x,标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.,根据定理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,对一般的正态分布 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,例,附表4,例 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解,例,例 3 原理,设 X N ( , 2), 求,解,一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小,由3 原理知，,当,标准正态分布的上 分位数 u,设 X N (0,1) , 0 1, 称满足,的点 u 为X 的上 分位数,z,常用数据,例7 设测量的误差 X N(7.5,100)(单位:米) 问要进