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第三节, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒 ( Taylor )公式,第三章,一、问题的提出,特点:,以直代曲,x 的一次多项式,问题:,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,多项式逼近,1. 求 n 次近似多项式,要求:,故,令,则,2. 余项估计,令,(称为余项) ,则有,泰勒(Taylor)中值定理,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,皮亚诺型余项,两种余项形式：,拉格朗日型余项,因此，泰勒中值定理是拉格郎日中值定理的推广.,其中,泰勒公式变成较简单的形式，即所谓的麦克劳林公式：,或,三、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,类似可得,其中,其中,其中,类似可得,已知,常用函数的含皮亚诺型余项的麦克劳林公式,四、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,已知,例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,解:,令 x = 1 , 得,的麦克劳林公式为,解,2. 利用泰勒公式求极限,3. 利用泰勒公式证明不等式,例3. 证明,证:,内容小结,1. 泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,2. 常用函数的麦克劳林公式,3. 泰勒公式的应用,(1) 近似计算,(3) 其他应用,求极限 , 证明不等式 等.,(2) 利用多项式逼近函数 ,泰勒 (1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理论的奠基人 .,麦克劳林 (1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数 .,sinx的Tailoy多项式对sinx的近似情况：,n=1时：,sinx的Tailoy多项式对sinx的近似情况：,n=3时：,sinx的Tailoy多项式对sinx
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