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文档简介

1,第七章 非线性方程(组)的数值解法,计算方法, Newton 法 弦截法、抛物线法,2,本讲内容,Newton 法及其收敛性 牛顿下山法 弦截法与抛物线法,3,Newton 法,基本思想,将非线性方程线性化,设 xk 是 f (x)=0 的近似根，将 f(x) 在 xk 处 Taylor 展开,条件： f(x) 0,4,Newton 法,x,y,x*,xk,xk+1,5,Newton 法,算法 ：( Newton 法 ),(1) 任取迭代初始值 x0,(2) 对 k = 1, 2, . , maxit，计算,判断收敛性，若收敛，则停止计算，输出近似解,6,收敛性,k = 0, 1, 2, . . .,迭代函数,7,举例,例：用 Newton 法求 f(x) = xex 1=0 的解,ex75.m,8,举例,例：用 Newton 法求 f(x) = x2 C=0 的正根,对任意 x00， 总有 |q|1， 即牛顿法收敛,9,牛顿法,牛顿的优点,牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法,至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。,先用其它算法获取一个近似解，然后使用牛顿法,需要求导数！,10,简化的Newton法,线性收敛,简化的 Newton 法,基本思想：用 f(x0) 替代所有的 f(xk),11,Newton下山法,下山因子的取法： 从 =1 开始，逐次减半，直到满足下降条件,基本思想：要求每一步迭代满足下降条件,具体做法：加下山因子 ,Newton下山法,保证全局收敛,12,重根情形,且,重根情形,13,重根情形,令,x* 是 (x)=0 的单重根,14,举例,例：求 x4 - 4x2 4=0 的二重根,15,弦截法与抛物线法,弦截法与抛物线法,目的：避免计算 Newton 法中的导数，且具有较高的收敛性（超线性收敛）,弦截法（割线法）：用差商代替微商 抛物线法：用二次多项式近似 f(x),16,弦截法,弦截法迭代格式：,k = 1, 2, 3, . . .,注：弦截法需要提供两个迭代初始值,17,收敛性,定理：设 x* 是 f(x) 的零点， f(x) 在 x* 的某邻域 U(x,) 内有二阶连续导数，且 f(x)0，若初值 x0，x1 U(x,)，则当 U(x,) 充分小时，弦截法具有 p 阶收敛性，其中,18,弦截法几何含义,x,y,x*,xk-1,xk,xk+1,19,抛物线法,基本思想： 用二次曲线与 x 轴的交点作为 x* 的近似值,抛物线法,20,抛物线法,y,xk-2,xk-1,xk,xk+1,21,抛物线法,计算过程,二次曲线方程 (三点 Newton 插值多项式),22,抛物线法,取靠近 xk 的那个点,23,收敛
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