理论力学8—刚体的平面运动.ppt

刚体的平面运动,第八章,概述,本章在刚体的平动和定轴转动两种简单运动的基础上，讨论一种较为复杂的运动刚体的平面运动。,前面讨论的刚体平动和定轴转动是最基本的运动形式，工程中常见的运动形式还有刚体的平面运动。,1、平动和定轴转动这两种基本运动的合成；,2、刚体绕不断运动的轴的转动。,理论力学课 “理论易懂题难做”的特点在这一章体现的比较明显。,本章对刚体的平面运动进行概述,把刚体平面运动分解为随基点的平动和绕基点转动,得出了求速度的基点法、速度投影定理、速度瞬心法三种方法。,得出了求加速度的基点法，并对其进行了应用和练习。,最后对运动学的综合应用进行练习。,可将刚体的平面运动看成：,在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。,此处有影片播放,8.1 刚体平面运动概述和运动分解,S,A,刚体上每一点都在与固定平面M平行的平面内运动。,若作一平面N与平面M平行,并以此去截割刚体得一平面图形S。可知该平面图形S始终在平面N内运动。,因而垂直于图形S的任一条直线A1A2必然作平动。,A1A2的运动可用其与图形 S的交点A的运动来替代。,刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。,8.1 刚体平面运动概述和运动分解,提问1：若把黑板擦看做是刚体，则擦黑板时，黑板擦可以在黑板面内杂乱无章的运动，黑板擦的运动有无共同特征，黑板擦做什么运动？,提问2：刚体的平面运动是一个刚体的运动 ，但为什么称其为平面运动而一般不用其他的称呼？,刚体在运动时，若刚体上任意一点A与某一个固定平面始终保持相等的距离。,即一个刚体的运动可以用一个平面图形的运动来代替，刚体平面运动的称呼由此而得来。,从刚体上此点向固定平面做一垂线，则此线段在运动过程中不会倾斜，即此线段在作平动。,其上各点的轨迹形状、速度、加速度均相同，因此点A的运动情况即可代替此线段的运动。,过点A做一平行于固定平面的平面，则此平面在刚体上截出一平面图形。,此图形上各点均可以代表相应线段的运动，因此此平面图形的运动即可代表此刚体的运动。,8.1 刚体平面运动概述和运动分解,平面图形S在其平面上的位置完全可由图形内任意线段AB的位置来确定。,而要确定此线段的位置，只需确定线段上任一点A的位置和线段AB与固定坐标轴Ox间的夹角j即可。,点A的坐标和j角都是时间的函数，即,xA = f1(t),yA = f2(t),这就是平面图形的运动方程。,平面图形的运动方程可由两部分组成：,一部分是平面图形按点A的运动方程xA = f1(t), yA = f2(t)的平移，没有转动,另一部分是绕A点转角为j = f3(t)的转动。,j = f3(t),8.1 刚体平面运动概述和运动分解,平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释。,以沿直线轨道滚动的车轮为例,同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单的运动。,取车厢为动参考体，以轮心点O为原点取动参考系Oxy。,则车厢的平动是牵连运动,车轮绕平动参考系原点O的转动是相对运动。,二者的合成就是车轮的平面运动(绝对运动)。,单独考虑轮子作平面运动时，可在轮心O处固连一个平动参考系Oxy 。,8.1 刚体平面运动概述和运动分解,对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点o，称为基点。,在这一点假想地安上一个平动参考系oxy；,平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变。,可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy 。,于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平动和绕基点转动这两部分运动的合成。,8.1 刚体平面运动概述和运动分解,研究平面运动时，可以选取不同的点作为基点。,图示曲柄连杆机构中连杆AB作平面运动。,一般平面图形上各点的运动情况不同。,因此，在平面图形上选取不同的基点，其动参考系的平动是不一样的，其速度、加速度也不相同。,点A作圆周运动。,点B作直线运动。,8.1 刚体平面运动概述和运动分解,如果运动开始时OA和AB都位于水平位置，运动中的任意时刻：,AB绕点A或绕点B的转角,由于任意时刻的转角相同，其角速度、角加速度也必然相同。,相对于各自的平动参考系Ax“y“、Bxy都一样,都等于相对固定参考系的转角j,8.1 刚体平面运动概述和运动分解,结论：,平面运动可取任意点为基点，运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。,而绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。,其中平动的速度和加速度与基点的选择有关,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,平面图形的运动可分解为两个运动：,1、牵连运动，即随同基点的平动；,2、相对运动，即绕基点的转动。,于是，平面图形内任一点B的运动可看成是两个运动的合成，用速度合成定理来求它的速度基点法。,B,A,因为牵连运动是平动，所以点B的牵连速度等于基点的速度vA。,因为点B的相对运动是以点A为圆心的圆周运动，,所以点B的相对速度等于平面图形绕点A转动时点B的速度，以vBA表示。其大小为：,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,这就是平面运动的速度合成法或称基点法。,由速度合成定理,可得：,平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,例1 椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l=20cm，滑块A的速度vA=10cm/s，求连杆与水平方向夹角为30时，滑块B和连杆中点M的速度。,解: AB作平面运动，以A为基点，分析B点的速度。,由图中几何关系得：,方向如图所示。,30,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,以A为基点，则M点的速度为,将各矢量投影到坐标轴上得：,解之得,A,vA,B,wAB,30,M,x,y,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,例2 行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿轮I只滚而不滑动，半径为r2。杆OA角速度为wO。求轮II的角速度wII及其上B、C两点的速度。,解:行星齿轮II作平面运动，求得A点的速度为,wO,O,D,A,C,B,I,II,以A为基点，分析两轮接触点D的速度。,由于齿轮I固定不动，接触点D不滑动，显然vD0,因而有vDAvAwO(r1+r2)，方向与vA相反,vDA为点D相对基点A的速度，应有vDA wIIDA。所以,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,wO,O,D,A,C,B,I,II,以A为基点，分析点B的速度。,vBA与vA垂直且相等，点B的速度,以A为基点，分析点C的速度。,vCA与vA方向一致且相等，点C的速度,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,基点法总结：,基点既可以是平面图形内的一点，也可以是平面图形扩展部分的一点。它实际上是动系的坐标原点，一般习惯上称之为基点。,当刚体做平面运动时，只有基点和刚体相连，动系坐标轴并不与刚体相连，因此基点相当于和刚体铰链连接，动系始终在做平动。,选择的基点不同，其速度、加速度一般也不同。,刚体相对静系的角速度、角加速度是绝对角速度、角加速度。,但刚体绕基点转动的角速度、角加速度相同，不可能在同一瞬时刚体绕不同的基点有不同的角速度、角加速度。,角速度和角加速度是刚体整体性质的度量，线速度、线加速度是刚体局部性质的度量。,因动系始终在作平动，刚体相对动系的角速度、角加速度是相对角速度、角加速度；,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,若图形内某点A的速度为vA，图形的角速度为，则图形内任一点B的速度vB以公式表示为：,称此方法为平面图形内各点速度的基点法。,应用基点法的条件是：,图形内一点速度大小、方向均为已知，图形的角速度已知，则可确定图形内任一点的速度。,但在许多题目中，往往是已知图形内一点速度的大小和方向，已知另一点速度的方向，图形的角速度未知，无法使用基点法。,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等。这就是速度投影定理。,引入速度投影定理,由于vBA垂直于AB，因此vBAAB=0。于是,将等式两边同时向AB方向投影:,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,在已知平面图形内一点的速度大小、方向，另一点的速度方向时，用速度投影定理可以很方便地求出另一点的速度大小。,在投影计算中，一般要规定投影轴的正向，但在速度投影定理中，不用规定投影轴的正向，只要沿A、B两点连线投影即可。,但由于速度投影定理是沿A、B两点连线投影的，vBA在此投影中不出现，所以不能求出图形的角速度。,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,例3 用速度投影定理解例1。,解：由速度投影定理得,解得,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,在平面图形内能否找到一点，其速度为零，例如A点，vA=0，若选此为基点，由基点法公式，有：,则求速度岂不更方便？,这一点是否存在？,如何称呼这一点？,如何找出这一点？,用这种方法求速度称为什么方法？,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。,设有一个平面图形S，角速度为w。,如果取AC vA /w ，则,该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。,图形上点A的速度为vA，如图。,在vA的垂线上取一点C (由vA到AC的转向与图形的转向一致)，有,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,平面图形内各点的速度及其分布,根据上述定理，每一瞬时在图形内 都存在速度等于零的一点C，即vC=0， 选取点C为基点，则各点的速度为：,结论：平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬心转动的速度。,速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况，与图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似。,但是在不同的瞬时，速度瞬心在图形内的位置不同。,于是平面图形的运动可看成是绕速度瞬心的瞬时转动。,图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。,注意：刚体作平面运动时，一般情况下在每一瞬时，图形内必有一点成为速度瞬心；,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,确定速度瞬心位置的方法有下列几种：,(1) 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动（纯滚动）,图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。如车轮在地面上作无滑动的滚动时。,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,(2) 已知图形内任意两点A和B的速度的方向,速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。,(3) 已知图形上两点A和B的速度相互平行，但大小不等，并且速度的方向垂直于两点的连线AB,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连线的交点C上。,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。,图形的速度瞬心在无限远处。(瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等),8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,确定瞬心的一般方法：,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,提示1：,速度瞬心也是一个基点，,每一个做平面运动的刚体都有它自己的速度瞬心，,速度瞬心只是在此瞬时速度为零，其加速度并不为零，,是一个特殊的基点，,此点可能在实际图形内，也可能在实际图形外（此时可认为速度瞬心在图形的扩展部分）。,速度为零的基点。,提示2：,不同瞬时有不同的速度瞬心。,不能把几个构件组成的系统放在一起找速度瞬心。,速度瞬心是对一个刚体而言，不同的平面运动的刚体，其速度瞬心不同。,提示3：,速度瞬心的速度为零，若加速度也为零，此点将不动。刚体为定轴转动。,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,提示4 ：,这时要先求出图形的角速度，然后再求其他点的速度。,但也有一些题其速度瞬心难以确定，这时就要用基点法。,在用速度瞬心法实际做题时，往往是先确定出速度瞬心的位置，,图形的角速度并不知道，,而往往知道的是图形内某点的速度，,提示5 ：,求速度的基点法是一种基本方法，但对有些题用起来不方便。,速度投影定理对某些题求解方便，但无法求出角速度。,速度瞬心法是一种比较常用的方法，相对比较方便，,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,例4 用速度瞬心法解例1。,解： AB作平面运动,A,vA,B,30,C,M,瞬心在C点,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,例5 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。,A3,w,A2,A4,A1,解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即A1,各点的速度方向分别为各点与A点连线的垂线方向，转向与w相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。,O,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,45,90,90,O1,O,B,A,D,例6 已知四连杆机构中O1Bl，AB3l/2，ADDB，OA以w绕O轴转动。求：(1) AB杆的角速度；(2) B和D点的速度。,w,解：AB作平面运动，OA和O1B都作定轴转动，C点是AB杆作平面运动的速度瞬心。,C,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,例7 直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以 匀速向前滑动，圆柱半径 ，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求 时圆柱的角速度。,解一：圆柱作平面运动，其瞬心在 C1点，设其角速度为 。,AB杆作平面运动，其瞬心在C2点，则,即,亦即,故,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,例8 图示机构，已知曲柄OA的角速度为w，OAABBO1O1Cr，角a = b = 60，求滑块C的速度。,解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则,w,a,b,O,A,B,O1,C,C1,C2,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,解：连杆AB作平面运动，瞬心在C1点，则,例9 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度w转动，AB = BC = BD = l，当曲柄与水平线成30角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。,A,O,B,D,C,30,30,w,C1,C2,连杆BC作平面运动，瞬心在C2点，则,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,例10 曲柄连杆机构中，在连杆AB上固连一块三角板ABD，如图所示。机构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为w2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1AO1O2时，ABO1O2 ，且AD与AO1在同一直线上，j =30。试求三角板ABD的角速度和点D的速度。,解、运动分析：O1A和O2B作定轴转动；ABD作平面运动，其速度瞬心在点C。,O1,O2,A,B,D,j,C,w2,wABD,w,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,例11 图示放大机构中，杆I和II分别以速度v1和v2沿箭头方向运动，其位移分别以x和y表示。如杆II与杆III平行，其间距离为a，求杆III的速度和滑道的角速度。,解：I、II、III杆作平动，IV杆作平面运动。滑块B和滑块C与滑道之间有相对运动，如果取滑道IV作为动参考体分析滑块B和滑块C的运动，则牵连运动均为平面运动。,B点的运动分析：取滑块B为动点，滑道作为动参考体，绝对运动是滑块B随I杆的运动，速度为va1= v1；,相对运动是滑块B在杆滑道中的运动，速度为vr1；,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,vB(ve1),vA,vA,vBA,va1,vr1,a,h,牵连运动是杆的平面运动，其速度可用基点法分析得到：,由这两个速度合成得到杆上B点的速度vB，此速度即是前面复合运动中的牵连速度ve1，如图所示。,取A为基点，分析杆上B点的速度，随基点平动的速度是杆的运动速度v2，相对于基点转动的速度方向垂直于杆，大小未知,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,向h方向投影得:,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,vC(ve2),vA,vA,vCA,va2,vr2,a,C点运动分析：取滑块C为动点，滑道作为动参考体，绝对运动是滑块C随杆的运动，速度为va2vIII,大小待求；,相对运动是滑块C在杆滑道中的运动，速度为vr2；,牵连运动是杆的平面运动，其速度可用基点法分析得到：,h,取A为基点，分析杆上C点的速度，随基点平动的速度是杆的运动速度v2，相对于基点转动的速度vCA方向垂直于杆，大小为vCA=wAC，由这两个速度合成得到杆上C点的速度vC，此速度即是前面复合运动中的牵连速度ve2，如图所示。,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,vC(ve2),A,vA,vA,vCA,va2(vIII),vr2,C,a,向h方向投影得:,因为,所以,h,结论：,平面运动可取任意点为基点，运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。,其中平动的加速度与基点的选择有关，而绕基点转动的角加速度与基点的选择无关。,8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,平面图形的运动可分解为两个运动：,1、牵连运动，即随同基点的平动；,2、相对运动，即绕基点的转动。,于是，平面图形内任一点B的运动可看成是两个运动的合成，用加速度合成定理来求它的速度基点法。,因牵连运动是平动，所以点B的牵连加速度等于基点的加速度aA。,因为点B的相对运动以点A为圆心的圆周运动，所以点B的相对加速度等于平面图形绕点A转动时点B的切向加速度和法向加速度的矢量和，以aBA表示。,B,A,如图所示。由牵连运动为平动的加速度合成定理，有,由于牵连运动为平动，所以ae=aA，于是有,而,其中,故,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,B,A,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,即：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这就是平面运动的加速度合成法，称为基点法。,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,例13 车轮在地面上作纯滚动，已知轮心O在图示瞬时的速度为vO，加速度为aO，车轮半径为r，如图。试求轮缘与地面接触点C的加速度。,解：车轮作平面运动，取O点为基点，则C点的加速度为,取如图的投影轴，将各矢量投影到投影轴上得,方向由C点指向O点。,a,w,aO,C,O,vO,aO,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,例14 平面四连杆机构中，曲柄OA长r，连杆AB长l4r。当曲柄和连杆成一直线时，此时曲柄的角速度为w，角加速度为a，试求摇杆O1B的角速度和角加速度的大小及方向。,解：AB作平面运动，由题设条件知，AB的速度瞬心在B点，也就是说，vB = 0，故：,O,O1,A,B,w,a,30,30,vA,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,取A为基点分析B点的加速度如图所示：,其中：,O,O1,A,B,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,将加速度向h轴投影得 ：,O,O1,A,B,h,30,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,A,B,C,D,O,100,100,vC,vB,45,45,例15 平面四连杆机构的尺寸和位置如图所示，如果杆AB以等角速度w = 1 rad/s绕A轴转动，求C点的速度和加速度。,解：AB和CD作定轴转动，BC作平面运动,wBC,w,B、C两点的运动轨迹已知为圆周,由此可知vB和vC的方向，分别作vB和vC两个速度矢量的垂线，得交点O，即为该瞬时BC的速度瞬心。,由几何关系知,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,A,B,C,D,45,80.54,取B为基点分析C点的加速度，有,将C点的加速度向BC方向投影得：,aC,负值表明实际方向与假设方向相反。,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,例16 图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长0.2 m，连杆AB长1m，OA以匀角速度w =10 rad/s绕O轴转动。求图示位置滑块B的加速度和AB杆的角加速度。,解：AB作平面运动，瞬心在C点，则,O,w,wAB,45,A,45,B,C,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,AB作平面运动，以A点为基点，则B点的加速度为,其中,O,45,A,B,x,将B点加速度投影到h轴上得,h,将B点加速度投影到x轴上得,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,解：薄板作平面运动，取B为基点分析A点的加速度如图所示：,例17 图示正方形薄板边长20 mm，在其平面内运动。某瞬时顶点A和B的加速度分别为 和 ，方向如图。求(1)薄板的角速度和角加速度;(2)C点的加速度。,D,C,B,A,其中 ：,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,将等式两边分别向x和y方向投影得：,D,C,B,A,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,再取B为基点分析C点的加速度如图所示,将加速度分别向x和y方向投影得：,其中,方向与CD成45夹角指向右下方。,D,C,B,A,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,例18 半径r =1m的轮子，沿水平直线轨道纯滚动，轮心具有匀加速度aC = 0.5 m/s2，借助于铰接在轮缘A点上的滑块，带动杆OB绕垂直图面的轴O转动，在初瞬时(t = 0)轮处于静止状态，当t = 3s时机构的位置如图。试求杆OB在此瞬时的角速度和角加速度 。,解：当t=3s时，轮心C的速度,轮子作平面运动，瞬心在D点，则,r,C,O,A,B,vA,aC,45,D,取滑块A为动点，动系取在OB杆上，动点的速度合成矢量图如图所示。,ve,vr,vC,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,轮作平面运动，取C为基点，则A点的加速度,根据牵连运动为转动的加速度合成定理，动点A的绝对加速度为,r,C,O,A,B,aC,45,D,于是可得,其中,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,取如图的投影轴，由以上加速度合成矢量式，将各矢量投影到h轴上得,r,C,O,A,B,aC,45,D,aK,于是，杆OB的角加速度为,转向如图所示。,h,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,例19 图示机构中，曲柄OA长为r，绕O轴以等角速度w0转动，AB6r，BC 。求图示位置时滑块C的速度和加速度。,A,B,O,C,C2,C1,60,wO,60,90,解：AB和BC分别作平面运动，A点绕O作圆周运动，B、C分别在滑道内作直线运动,依据A、B、C三点的速度可以分别求出AB的速度瞬心C1和BC的速度瞬心C2，如图所示。,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,加速度分析 取A为基点分析B点的加速度,将B点的加速度向水平方向投影得：,A,B,O,C,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,再取B为基点分析C点的加速度,其中,将C点的加速度向铅直方向投影得：,求得的加速度为负值说明与假设方向相反，即滑块C的加速度方向应为向上。,A,B,O,C,8.5 运动学综合应用举例,工程中的机构都是由多个物体组成的，各物体之间通过连接点而传递运动。,为了分析机构的运动，首先要分清各个物体都做什么运动，要计算有关连结点的速度和加速度。,为分析某点的运动，如能找出其位置与时间的函数关系，可直接建立运动方程，用解析法求其运动全过程的速度和加速度。,当难以建立点的运动方程或只对机构某些瞬时位置的运动参数感兴趣时，可根据刚体各种不同运动的形式，确定此刚体的运动与其上一点运动的关系，并常用合成运动或平面运动的理论来分析相关的两个点在某瞬时的速度和加速度的联系。,平面运动理论用来分析同一平面运动刚体上两个不同点间的速度和加速度联系。,当两个刚体相接触而有相对滑动时，则需用合成运动的理论分析这两个不同刚体上相重合一点的速度和加速度联系。,8.5 运动学综合应用举例,两物体间有相互运动，虽不接触，其重合点的运动也符合合成运动的关系。,复杂的机构中，可能同时有平面运动和点的合成运动问题，应注意分别分析、综合应用有关理论。,有时同一问题可用不同的方法分析，则应经过分析、比较后，选用较简单的方法求解。,下面举例说明这些方法的综合应用。,8.5 运动学综合应用举例,例20：图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平导轨运动。滑块E以匀速v沿铅直轨道向上运动，杆BE长为 。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为45。求该瞬时杆OA的角速度和角加速度。,解：BE杆作平面运动，可先求出点B的速度和加速度。,点B连同滑块在OA杆上滑动，并带动杆OA转动。,可按合成运动方法求解杆OA的角速度和角加速度。,8.5 运动学综合应用举例,BE杆作平面运动，由v及vB方向可知此瞬时点O为BE的速度瞬心。,因此,以E为基点，点B的加速度为,由于