理学习题07利用留数定理计算定积分

137如果()sin ,cosR在0,2中有奇点，通过变换 i ze =，()sin ,cosR变为 ( ) 22 11 , 22 zz f zR izz + = ， 则( )f z在 单位 圆 周1z =上 有 奇 点 。设 这 些 奇 点 k （）均为一阶奇点，证明： 1,2,k =?m () ( )( ) 2 0 11 sin ,cos2resres k m zk z f zf z Rd zz ，存 在满足0 2 2 0 cos n xdx ； （5）() 2 0 exp i ed ； （6） 2 0 1 sin d + ； （7） () 2 02 1 sin d + ； （8）() 0 cot xdx ，Im0。 （1）令( ) () 2 2 1111 11 1 2 2 f z zzp ppzpz zp = + + ，则( ) 2 1 res 1 fp p = 。 原积分( ) 2 2 2 res 1 fp p = 。 （2）令( ) ()() 2 112 1 2323 2 2 f z zz zz z = + + + ，则 () 1 res23 3 f +=。 原积分 2 3 =。 （3）令( ) () () 222 2 12 114 1 2 z f z zb 2 zzzz z ab z = + + ，其中 2 1 1 aa z bb = ， 2 2 1 aa z bb = + 。 2 11 aaa bbb ，在单位圆外， 22 2 111 aaaa z bbbb = +=( ) () 2 2res0res b iff ei =+= ， 若，原积分0b ，； （3） 2 2 1 m n x dx x + ，均为正整数，且； （4）,m nnm () 1 2 1 n dx x + + ，n为正整数； （5） () 2 2 022 x dx xa + ，； （6）0a 2 24 dx xx + ； （7） ()() 2 22 12 cos1 x dx xxx + ，为实数，且sin0； （8） () 2 1ch 2 dx x x + 。 （1）令( ) ()()()() 22 4 443434 1 iiii zz fz zzezezeze = + 。 ()() 4 1 res1 4 2 i f ei =，()() 34 1 res1 4 2 i f ei = +。 所以()() 2 434 4 1 v.p.2resres 12 ii x dxif ef e x =+ + =。 被积函数是偶函数， 所以( )( )( )( ) 0 000 11 lim2lim 22 bb bbb f x dxfx dxfx dxfx dx =+ ( ) 1 v.p. 2 f x dx = ， 即( ) 0 f x dx 收敛， 同样的，( ) 0 f x dx 也收敛， 所以( )f x dx 收 敛，且等于 2 4 v.p. 1 x dx x + 。后面类似的讨论省略。 （2）令( ) ()() ()()()() 2222 11 f z zaizaizbizbizazb = + ，则 () () 22 res 2 i f ai a ab = ，() () 22 res 2 i f bi b ab = 。 原积分 ()() 222 v.p. dx 2 xaxb = + ()() () 2resresif aif bi ab ab =+= + 。 （3）令( ) 2 2 1 m n z f z z = + ，它在上半平面的奇点是 1 2 i k n e + （0,1,2,1kn=?） 。 () 11 22 1 22 2 2 reslimlim 2 1 i ki k nn mm i k n n zeze zz f e n z + 21n+ + = + ()()221221 2 1 2 ikmnimn nn ee n + = 原积分 2 2 v.p. 1 m n x dx x = + ()() 1 11 221221 2 2 00 2res nn i k imnikmn n nn kk i ifeee n + + = = () () ()() 221 221 2 221 12 221 2 sin1 2 imn imn n imn n iei e mnnn ie n + + + = + ()21 sin 2 m n n = + 。 （4）令( ) () ()() 11 2 11 1 nn f z zizi z + = + + 1n+ ，则 ( ) () ( ) () ()()() () () () () () 1212 2 11222!2111111 res !22 22! n n nn n z i nnnnn f i nnii ziin + = + = + ?! 2!n 所以原积分 () 1 2 v.p. 1 n dx x + = + ( ) () () 21 ! 2res 2! n if i n =。 （5）令( ) () () () 22 222 22 zz f z zaizai za = + + ()，则 () 2 2 1 lim 4 zai dz f ai dzai zai = + res。 同第（1）小题的讨论，有原积分 () () 2 2 22 11 v.p.2res 22 x dx if ai a xa 4 = + =。 （后面 类似讨论省略） （6） 22 11 24 O xxx = + ，所以 2 0 24 dx xx + 收敛， 0 2 24 dx xx + 也收敛，所以 2 24 dx xx + 收敛，可直接计算其主值。 （ （7）可同样讨论） 。 令( ) ()() 2 11 24 1313 f z zz zizi = + + ， () 1 res13 2 3 fi i +=， 原积分 3 =。 （7）令( ) ()()()()()() 22 22 12 cos1 ii zz fz zzzzizizeze = + ， ( ) 1 res 4cos f i = ， () () 2 11 res 4cos4sin2 sin1 i i i f e ie = + ， () () 2 2 1 res 4cos4sin2 sin1 i i i ei f e ie = =+ + 。 若sin0，则 i e 在上半平面，原积分( ) () 2resres 2sin i if if e =+= ， 若sin0， ()()cossincossin ,0 nini ee + ，ch 2 n z ， 当 2 ch1 2 n z 。在上 n C () 2 2 1 1 1ch 2 n n n n n z z z z z + + （） ， 所以nN()lim0 nn n z f z =， 由此得。 ( )lim0 n Cn fz dz = 令（*）式可得 n () () ()()() 11 1 2 110 1111 v.p.112 11 1ch 2 kk k kkk dx x kkkkk x 1 1 k k = = +=+= + + = 。 易知() () 1 1 1 ln 1 k k k xx k = +=， （1x （3） 2 sin 22 xx dx xx + ； （4） 3 44 0 sin 4 xmx dx xa + ，； （5）0,0am () 2 2 cosmx dx xba + ， () 2 2 sinmx dx xba + ，； （6）0,0am 22 cossinaxxx dx xa + + ，； 0a （7） ()() 2 2222 sin ax dx xbxc + ，； （8）0,0,0abc 0 cos ch x dx x 。 （1）令( ) ()()()() 4 44343 1 iziz iiii ee fz zzezezeze = + 4 。 () 1 12 442 res 4 i i e f ee i =， () 1 12 3442 res 4 i i e f ee i =。 原积分 4 1cos v.p. 21 x dx x = + ()() 1 434 2 11 Re 2resrescos 222 ii if ef ee 4 =+= 。 （2）令( ) ()() 22 imzimz zeze fz zazaizai = + ，则() 1 res 2 ma f aie=。 原积分 22 1sin v.p. 2 xmx dx xa = + () 1 Im 2res 22 ma if aie = 。 （3）令( ) ()() 2 2211 iziz zeze f z zzzizi = + + ，则() 1 4 1 res1 2 i fie ei + += 。 2 sin v.p. 22 xx dx xx + () 2 Im 2res1sin 1 4 ifi e =+=+ 。 由于 2 22 x xx+ 单调趋于 0， 0 sin1 cos2 b xdxb= ，所以原积分收敛（狄里克莱判敛 法） ，等于其主值。 （4）( ) 33 44 33 444 4 2222 imzimz iii z ez e fz za zaezaezaezae = + 4 i 。 则 () 4 1 res2 4 imaima () faeee =， 34 1 res2 4 imaima aeee =f。 原积分 3 44 0 1sin v.p. 24 xmx dx xa = + ()() 434 1 Im 2res2res2cos 22 iima ifaefaeem a =+= 。 （5） 令( ) () ()() 2 2 imzimz ee fz zbaizbai zba = + + ()，res 2 ma imb e baie ai +=。 f 所以 () () 2 2 cos v.p.Re 2rescos ma mx dxifbaiemb a xba = += + ， () () 2 2 sin v.p.Im 2ressin ma mx dxifbaiemb a xba = += + 。 由于 ()() 22 22 cos1x xbaxba + ， ()() 2 22 sin1x 2 xbaxba + 所以原积分收敛，等于 其主值。 （6）令上小题第一个积分中可得0,1bm= 22 cos a x dxe xaa = + ， 令第（2）小题中1m =可得 22 sin v.p. a xx dxe xa = + 。 所以原积分。 2 a e = （7）原积分 ()()()() 22222222 111cos2 22 ax dxdx xbxcxbxc = + 。 令( ) ()() ()()()() 2222 11 f z zbizbizcizcizbzc = + ， () () 22 1 res 2 f bi b bci = ，( ) () 22 1 res 2 f ci c bci = 。 则 ()() ()( ) () 2222 1 2resresdxif bif ci bc bcxbxc =+= + 。 令( ) ()()()()()() 22 2222 iaziaz ee fz zbizbizcizcizbzc = + ， () () 2 22 res 2 ab e fbi b bci = ，() () 2 22 res 2 ac e fci c bci = 。则 ()() ()( ) 22 22 2222 cos2 v.p.Re 2resres acab axee dxif bif ci bccbxbxc =+= + 由于 ()()()() 2 22222222 sin1ax xbxcxbxc + ，所以原积分收敛且 原积分 () () 22 22 2 abac bccebe bc bc + = 。 （8）令( ) ch iz e fz z =，它有一阶极点 1 2 ki + （0,1,k =?） 。 () 1 2 1 2 11 reslim 2sh k iz k zki e fkie zi + + += ， 2 1 res 2 fie i = 。 选取如下积分路径： ( )( )( )( ) 2 2res2 2 RRR R RLL fx dxfz dzfz dzfz dzifie += 。 （*） 因为() 2222 chchcosshsinchcosshsinRyiRyiRyRyRy+=+=+ 22 cosshshyR=+R，所以( ) () () () 00 2 1 chsh R i R yiy RR L e ee f z dzdydy RyiRee + = + 。 因此，同样有( )lim0 R LR fz dz = ( )lim0 R LR fz dz = 。 ( ) () () ( ) chch R i xiix RR RR ee R R f z dzdxedxef x dx xix + = = + ，代入（*）式并令 R 得 2 v.p. ch1 ch 2 ix ee dx xe = + 。所以原积分 2ch 2 =。 141计算下列积分： （1） () 22 0 sinmx dx x xa + ，； （2）0,0am ()() v.p. 12 dx x xx ； （3） 2 0 coscosaxbxdx x ，； （4）0,0ab ()() 22 0 sinsinxaxa dx xa + ，； 0a （5） 3 3 0 sin xdx x ； （6） 1 pxqx x ee dx e ，01,0pq1， ()()11 22 1 pxqxpxqx p xq x xx eeee ee ee = 。由于 ()()11 0 p xq x ee dx 收敛，所以 0 1 pxqx x ee dx e 收敛，类似地， 0 1 pxqx x ee dx e 收敛，所以原积分收敛，等于其主值。 （7）令( ) ()() 2 5661 iziz zeze f z zzzz = + 。取如下积分路径： () ( ) () ( ) 16 16 0 R R RCCC f x dxf z dz + += 。 （*） 因为 ()() lim0 61 z z zz = + ，所以( )lim0 R CR fz dz = 。 ( ) 6 06 6 limlim 17 iz i Cz ze f z dzie zi = = + ，( ) 01 limlim 67 iz i Cz ze f z dzie zi = = 。 令（*）式0,R 得( ) () 6 v.p.6 7 ii i f x dxee =+ ， 原积分( )()Re v.p.sin1 6sin6 7 f x dx = 。 （8）令( ) ()() 2 41 iz e f z zz = + ，() ()() () 2 2 res2lim12 2120 iz zi ee fii zizi = + +。 取如下积分路径： () ( ) () ( )()( 2 1 1 2res21 2 10 R R RCC e )f x dxf z dzifii + += +。 （*） ( )lim0 R CR fz dz = ，( ) 2 01 limlim 45 iz i Cz ei f z dzie z = = + 。 令（*）0,R 得原积分( ) () 2 Im v.p.cos1 5 f x dxe = 。 142计算下列积分： （1） () 2 02 1 s x dx x + ，1s3 （1）令( ) () 2 2 1 s z f z z = + ，取如下积分路径，规定0arg2， 则( ) () 2 2 1 reslim 4 ss i zi dzs f ie dzi zi = + ，() () 3 2 2 1 reslim 4 ss i zi dzs fie dzi zi = （这里 2 i ie =， 3 2 i ie =） 。围道积分为： ()() () ( ) 2 22 22 11 R ssis R RCC xx e dxdxf z dz xx + + ( )()()2resres1sin 2 is s if ifiise =+= 。 即() () () ( )() 2 2 2 11 2 1 R s R isis CC sin xs edxf z dzise x += + 。 令上式0,R ，由于( ) () 2 2 lim2lim0 1 R s CRz z f z dziz z = + ， ( ) () 2 002 lim2lim0 1 s Cz z f z dziz z = = + ，所以 () () () 22 02 1sin 2 1sec 14 1 is s is s ise 2 xs dxs e x = + 。 （2）令( ) ()() 2 2 cos1 pp ii zz fz zzzeze = + ，取与上小题同样的积分路径，规定 0arg2，则 () () () reslim 2 sin i ipp i i ze ze f e zei + + + = = + ， () () () reslim 2 sin i ipp i i ze ze f e zei = = + 。所以 () () ( ) 2 2 sin 1 2 12 cossin R p R ipip CC xp edxfz dzie xx += + 。 令上式0,R ，由于( ) 2 lim2lim0 2 cos1 R p CRz z f z dziz zz = + ， ( ) 2 00 lim2lim0 2 cos1 p Cz z f z dziz zz = = + ，所以 () 2 2 0 sinsin 2 12 cossinsinsin1 p ip ip xp dxie xxpe p = + 。 （3）令( ) 1 1 a z f z z = ，取如下积分路径，规定0arg2。 ()( ) ( ) () ( ) 1 2 1 10 R R ia CCCC efx dxfz + + dz = ， 令上式0,R ，因为( )lim0 R CR fz dz = ，( ) 0 lim0 C fz dz = ， ( )() 1 01 limlim1 1 a Cz z f z dzizi z = ， ( )() 2 1 2 0 limlim1 1 i a ia C ze z fz dzizie z = = ， 所以原积分() 2 2 1 cot 1 ia ia e ia e + = 。 （4）令( ) () () 2 2 22 ln z f z z za = + ，取与第（1）小题相同的积分路径，规定0arg2 则 ， () () () ()()() () 2 22 23 3 2 ln4ln5ln reslimlim 2 i zai zae zzaizzaizd fai dz z zaizzai + = + ()() 22 22 7 2 33 4ln3 ln23 ln4ln3 ln23 ln 44 8 2 aaaiaa a a + =， () () () ()()() () 32 22 23 3 2 ln4ln5ln reslimlim 2 i zai zae zzaizzaizd fai dz z zaizzai = ()() 22 22 7 2 2727 4ln3 ln69 ln4ln3 ln69 ln 44 8 2 aaaiaa a a + =。 围道积分为： () () () () () ( )( )() 22 22 2222 lnln2 2resres R R RCC xxi dxdxf z dzif aifai x xax xa + +=+ + 令0,R ，由于( )lim0 R CR fz dz = ，( ) 0 lim0 C fz dz = ，所以 () ()() ()() 2 2 22 002222 2 ln4ln 42resr xx dxidxif aifai x xax xa +=+ es + ， 因此原积分()() ()() 11 Im 2resresRe resres 42 if aifaif aifai =+=+ 7 2 33 ln1 242 2 a a = 。 143设及( )P z( )Q z分别为阶及阶多项式，并且mn2mn，且无非负实根。 考虑函数 ( )Q z ( ) ( ) ln P z z Q z 的积分，证明 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 resln P xP z dxz Q xQ z = 全平面 ，0arg2z。 证：令( ) ( ) ( ) ln P z f z Q z =z，取与上题第（1）小题相同的积分路径，规定0arg2z， 有 ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) lnln22resln R R RCC P xP xP z xdxxi dxf z dziz Q xQ xQ z += 全平面 ， 即 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) resln R R CC P xP z dxf z dzz Q xQ z += 全平面 。 （*） 由于 0 不是的零点，则( )Q z ( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 limlnlim ln0 0 zz P zP zzzz Q zQ =，所以 ( ) 0 lim0 C fz dz = 。 因 为， 所 以2mn ( ) ( ) 1 ln limlnlim0 n m zz P zz zz Q zz =， 则 。令（*）式( )lim0 R CR fz dz = 0,R 即得 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 resln P xP z dxz Q xQ z = 全平面 。 144利用上题结果计算下列积分： （1） () 2 02 1 x dx xx + ； （2） 33 0 1 dx xa + ； （3） ()() 22 0 1 dx xaxb + ，； （4）0a 0b ()() 2222 0 1 dx xaxb + 。 （1）令( ) () 2 2 ln 1 zz f z zz = + ，() () 23 23 2 43 ln12 reslim 39 3 i i ize dzz f e dz ze = ， () () 43 43 2 23 ln41 reslim 39 3 i i ize dzz f e dz ze = 。 原积分()() 2343 23 resres1 39 ii f ef e = = 。 （2）令( ) 3 ln z f z za = 3 + ， () ()() () 3 3 2 53 33ln3 3ln ln reslim 18 i i i zae aia z f ae azazae + = + ， () 222 lnln reslim 3 i zae za fa zazaa i + = + ， () ()() () 53 53 2 23 5 33ln3 3ln5 ln reslim 18 i i i zae aia z f ae azazae + = + 。 原积分()()() 35 2 2 3 resresres 9 ii f aefaf ae a 3 = =。 （3）令( ) ()() 22 ln z f z zazb = + ，则() 2222 lnln reslim i zae za fa zbab i + = + ， () ()() () () 222 2 ln2 lnln reslim 4 i zbe abbiabbz f bi zazbib ab + = + ， () ()() () () 3222 32 ln2 ln3ln reslim 4 i zbe abbiabbz fbi zazbib ab + = + 。 原积分()()() 22 1 resresresln 2 ba fafbif bi abab = =+ + 。 （4）( ) ()() 2222 ln z f z zazb = + ， 则() ()()() 22222 ln2 ln reslim 4 i zae zi f ai zaizba ab a + = + ， () ()()() 322222 ln32 ln reslim 4 i zae zi fai zaizba ab a = + ， () ()()() 22222 ln2 ln reslim 4 i zbe zi f bi zazbib ab b = + ， () ()()() 322222 ln32 ln reslim 4 i zbe zi fbi zazbib ab b + = + 。 原积分()()()() () resresresres 2 f aifaif bifbi ab ab = = + 。 145用类似于 143 题的方法证明( )( )() 2 0 1 lnReresln 2 f xxdxf zz = 全平面 ， ( )( )() 2 0 1 Imresln 2 f x dxf zz = 全平面 ，0arg2z。其中( )f x满足和第 143 题中 ( ) ( ) P z Q z 同样的要求。 证：令，取与 143 题相同的积分路径，规定0a( )( )() 2 lnF zf zz=rg2z ()() 0 ln x dx xaxb + ， ； （3）0ba () 2 0 ln x dx xa + ，； （4）0a () 2 2 0 ln x dx xab + ，均为正数。 , a b （1）令( ) () 2 22 ln z f z za = + ，则() () 2 2 22 lnln4ln reslim 28 i zae zaa f aii zaiaa =+ + ， () () 32 2 22 ln3 ln4ln9 reslim 28 i zae zaa faii zaiaa = + 。 原积分()() 1l Re resRe res 22 a f aifai a n = += 。 （2）令( ) () ()() 2 ln z f z zazb = + ，则() () 2 22 lnln2 ln lim i zae zaa fai zbbaba =+ + ， () () 2 22 lnln2 ln lim i zbe zbb fbi zababa = + 。 原积分()() ()() 22lnln 1ln Re resRe res 22 b ab ba a fafb baba = += ln 2 。 （3）令( ) () () 2 2 ln z f z za = + ，则()() 22ln2 reslimln i zae da faz dzaa i = 。 原积分() 1l Re res 2 a fa a = = n 。 （4）令( ) () () 2 2 2 ln z f z zab = + ，则() () 1 tan 22 2 ln reslim b i a zab e z fabi zabi + += + ()() 2 122122 111 tanlntanln 224 bb abiab baba 2 =+ ， () () 1 tan 22 2 ln reslim b i a zab e z fabi zabi + + = + ()() 2 1222221 111 tanlnlntan 224 bb abiab bab a = + 。 原积分()() () 12 11 Re resRe restanln 22 b 2 fabifabiab ba = + =+ 。 147按照指定的积分围道，考虑适当的复变积分，计算下列定积分： （1） () 2 24 0 1cos 1 xaxdx xx