立体几何中的向量方法(1).ppt

3.2立体几何中的向量方法（1）,起点,终点,类似于平面向量,为了研究的,方便起见,我们规定,:,零向量,、,单位向量,、,相等向量,、,相反向量,等概念.,你认为应,该,怎,样,规,定,?,）,的相反向量，记为：,（,O,A,B,2. 空间向量加法、减法与数乘向量运算：,a + b,a,a - b,3.空间向量加法与数乘向量运算律,加法交换律：,a + b = b + a；,加法结合律：,(a + b) + c =a + (b + c)；,数乘分配律：,(a + b) =a +b .,a,b,c,a + b + c,a,b,c,a + b + c,a + b,b + c,(a)()a,数乘结合律：,对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明：,空间向量的运算就是平面向量运算的推广,两个向量相加的平行四边形法则在空间仍 然成立,空间向量的加法运算可以推广至若干个向 量相加,1. 共线向量定理,共线向量（平行向量）：,表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。,共线向量定理：,共线向量定理的应用：,1、证明三点共线,2、证明两直线平行,二、共线向量与共面向量,2. 共面向量定理,共面向量定理：,共面向量：,平行于同一平面的向量。,共面向量定理的应用：,1、证明四点共面,2、证明线面平行,1)两个向量的夹角的定义:,新课引入,2）两个向量的数量积,注:两个向量的数量积是数量，而不是向量. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,A1,B1,B,A,(3)空间两个向量的数量积性质,性质 是证明两向量垂直的依据； 性质是求向量的长度（模）的依据； 性质是求向量夹角的依据.,注：,分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.,例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .,m,n,例3:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .,(4)空间向量的数量积满足的运算律,(5)空间向量基本定理,特别地，若 x+y+z=1，则 P、A、B、C 四点共面.,(6)空间直角坐标系,单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i, j, k表示,单位向量三个基向量的长度都为1； 正交向量三个基向量互相垂直,有序实数组 叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的 坐标，简记为a ,空间中相等的向量其坐标是相同的,a i j k,2.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使,(7)向量的直角坐标运算,向量的直角坐标运算：设a ，b ， 则,ab ；,ab ；,a ；, ab .,证明方法：与平面向量一样，将a i j k 和 b i j k 代入即可,证明(4):,2.类似于平面向量坐标运算可得：设a ，b = 则,a/b ab, ab ab=0,利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式,在空间直角坐标系中，,设A ，B ，则,即,例2.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E1，F1分别