广东省佛山市顺德区容山中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理.docx

容山中学2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学（理）试题（考试时间：120分钟 满分150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1是虚数单位，（ ）A. B. C. D. 2.若曲线在点处切线的倾斜角为，则等于（ ）A. 2 B. C. 3 D. 3. 用反证法证明命题：“若，且，则中至少有一个负数”的假设为（ ） A. 中至少有一个正数 B. 全都为正数C 全都为非负数 D 中至多有一个负数4平行四边形中，点，分别对应复数，则点D对应的复数为（ )A B C D5. 一物体在力 (单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从处运动到处(单位:m),则力所作的功为( )。A. B. C. D. 6. 已知是函数的极值点，若，则（ ）ABCD7观察下列各等式：，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（ ）ABCD8. 用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（ ）A BC D9. 设函数 ，若 是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）A B C. D10. 已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为()A B C. D源:Z*xx*k.Com11在平面内，设直角三角形的两直角边长分别为，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为在空间中，三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，类比可得底面积为，则该三棱锥的顶点到底面的距离为（ ）AB C D12. 已知, ,若存在，使得，则称函数 与 互为“度零点函数”.若与互为“1 度零点函数”，则实数的取值范围为（ ）A B C. D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、,则 .14甲、乙、丙三人被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过_城市15. 设点P、Q分别是曲线和直线上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为 .16. 有粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为.例如对4粒有如下两种分解：(4)(1,3) (1,1,2) (1,1,1,1)，此时13+12+11=6; (4)(2,2) (1,1,2) (1,1,1,1)，此时22+11+11=6.于是发现为定值，请你研究的规律，归纳 .三、解答题：本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）已知为虚数单位，复数（1）如果，求；（2）如果，求实数的值 18. （本小题满分12分）已知函数 （1）求 的单调区间；（2）若 在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围 19（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品的日销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大20.（本小题满分12分）已知函，（1）当时，在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当时，若函数在区间1,3上恰有两个不同零点，求实数的取值范围21 （本小题满分12分）是否存在常数使得等对一切都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明22（本小题满分12分）已知函数，（为自然对数的底数）（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，不等式成立班级：_姓名：_学号：_座位号：_ O 密 O 封 O 线O容山中学2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学（理）答题卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 题号一选择题二填空题三 解答题总分171819202122得分题号123456789101112答案113. 14. 15. 16. 三解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17题：18题：19题：20题：22题：、容山中学2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学（理）测试题参考答案一：选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BACDACCDADDC二：填空题（每小题5分，共20分）13_ , 14_ . 15 。 16 , 17【解析】（1）因为，所以 18. （1） 当 时，故当 时， 的单调递增区间为 ；当 时，由 解得 或 ，由 解得 ，故当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 （2） 因为 在处取得极值，所以 ，所以 所以 ，令 ，得 ，故 在 处取得极大值，；在 处取得极小值，因为直线 与函数 的图象有 个不同的交点，又 ，所以 的取值范围是 19【解析】（1）因为时，所以（2）由（1）知，该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润，其中从而于是，当变化时，的变化情况如下表：40单调递增极大值42单调递减由上表得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大20.【解】(1)由在上恒成立，得在上恒成立，令，则，故，当时，；时，.故在(1，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，故当时，的最小值为. 所以. .6分(2)由已知可知，函数在1,3上恰有两个不同零点，相当于函数与直线有两个不同的交点，故，所以当时，所以单调递减，当时，所以单调递增所以，且，所以.所以实数的取值范围为(22ln 2,32ln 3 .12分21、解：假设存在使等式成立。这时令得；令得；令得整理得到方程组 解得 于是，当时，下面等式成立。下面用数学归纳法证明。（1）显然当时等式成立。（2）假设当时等式成立，即那么当时，所以当时等式也成立。由（1）（2）知，当时等式对一切成立。22【解析】（1）由题意知，当时，解得，又，即曲线在点处的切线方程为（2）证明：当时，得，要证明不等式成立，即证成立，即证成立，即证成立，令，易知，由，知在上单调递增，上单调递减，所以成立，即原不等式成立22 已知函数(1)若t1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程以及f(x)的极值；(2)设函数g(x)(1t)x，若存在x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，求实数t的最大值【答案】(1) 2 (2) 【解析】(1)依题意，函数f(x)的定义域为(0，)，当t1时，f(x)x23xln x，f(x)2x3.由f(1)0，f(1)2，得曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2.令f(x)0，解得x或x1，f(x)，f(x)随x的变化情况如下：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值由表格知，f(x)极大值fln，f(x)极小值f(1)2.(2)由题意知，不等式f(x)g(x)在区间1，e上有解，即x22xt(ln xx)0在区间1，e上有解当x1，e时，ln x1x(不同时取等号)，ln xx22ln x，h(x)0，h(x)单调递增，x1，e时，h(x)maxh(e).t，实数t的最大值是. 12019黄山一模已知函数，（为自然对数的底数）（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，不等式成立【答案】（1）；（2）见解析12019青海联考已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当有最小值，且最小值不小于时，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），当时，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，当时，故函数在上单调递减；当时，故函数在上单调递增（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，没有最小值，故，整理得，即令，易知在上单调递增，且；所以的解集为，所以22【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）（）见解析，（）【思路分析】（1）先求函数的导数，再根据，求得两个极值点的大小关系，进而可得函数的单调区间；（2）（）根据与有共同的切线，根据导数的几何意义建立方程，可求得；（ii）将不等式转化为，再根据前两问可知是极大值点，由（1）知在内单调递增，在内单调递减，从而在上恒成立，可得，构造函数，根据单调性可求函数的值域，即得b的取值范围当变化时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）（i）因为，由题意知，所以，解得所以在处的导数等于0另一方面，由于，故，由（1）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立由，得，令，则，令，解得（舍去）或因为，故的值域为所以的取值范围是7. 【2018届河南省焦作市高三第四次模拟】已知.（）若，讨论的单调性；（）当在处的切线与平行时，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】（）在上单调递减，在上单调递增.（）.【解析】试题分析：（）求得函数的导数，分和两种情况讨论，即可得到函数的单调性；（）由（）求得，把不等式即，得在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到实数的取值范围 试题解析：（）因为，所以，当时， ，所以在上单调递减，当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.21已知函数（1）求函数的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围21【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，令，则，所以当时，故在上单调递增，所以当时，即，所以在上单调递增，故当时，函数取得最小值，最小值为（2）当时，对于任意的，恒有，由（1）知，故恒成立当时，令，则，由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增，而，取，由可得，则，所以函数存在唯一的零点，当时，在上单调递减，所以当时，即，不符合题意综上，故实数的取值范围为22（本小题满分14分）已知函数，其中.（1）是否存在实数使是函数的极值点；（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围。1.已知函数f(x)ln xx.(1)判断函数f(x)的单调性；(2)函数g(x)f(x)xm有两个零点x1，x2，且x11.即ln，故x1x2.那么x1，x2.令t，其中0t1，则x1x2.构造函数h(t)t2ln t，则h(t).对于0t0恒成立，故h(t)h(1)，即t2ln t1，故x1x21.2.已知函数f(x)ln x，g(x)(x1)f(x)，其中f(x) 是f(x)的导函数(1)求曲线yf(x)在点(e,1)处的切线方程；(2)若f(x)ag(x)在3，)上恒成立，求实数a的取值范围11已知函数若成立，则的最小值为（ ）AB CD已知函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围是（ ）ABCD【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=ABCD1【答案】C【解析】方法一：函数的零点满足，设，则，当时，当时，函数 单调递减，当时，函数 单调递增，当时，函数取得最小值，设 ，当时，函数取得最小值 ，方法二：由函数f(x)有零点，得有解，即有解，令，则上式可化为即.令，易得h(t)为偶函数，又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线ya有唯一交点，则此交点的横坐标为0，所以，故选C.方法三：由，当且仅当时取“”，当且仅当时取“”若a0，则，要使f(x)有唯一零点，则必有，即.若a0，则f(x)的零点不唯一综上所述，. 12已知函数有两个极值点、，且，则的取值范围是（ ）ABCD2015-2016下学期高二理科数学第二次轮测试题参考答案一：选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CDDDBDCCAACA二：填空题（每小题5分，共20分）13_ , 14_27_ . 15 。 16_ , 17设函数（1）讨论的单调性；（2）求在区间的最大值和最小值解：的定义域为（1）2分当时，；当时，；当时，从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少6分（2）由（）知在区间的最小值为8分又10分所以在区间的最大值为12分18（本小题满分12分）已知函数，且（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围解：（1）由，得当时，得， 解之，得3分（2）因为 从而，列表如下：100有极大值有极小值所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是8分（3）函数，有=，因为函数在区间上单调递增，等价于在上恒成立，只要，解得，所以的取值范围是 12分19 （本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件.（1）求分公司一年的利润与每件产品的售价的函数关系；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值。解：（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：4分（2）6分令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负8分 所以 ( )当即时，()当即时， 所以11分答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）12分20（本小题满分14分）已知函数，其中.（1）是否存在实数使是函数的极值点；（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围。解（1），其定义域为， 是函数的极值点，即 ， 检验当时，是函数的极值点， 5（2）解：对任意的都有成立等价于对任意的都有 6分当1，时，函数在上是增函数 8分，且，9分当且1，时，函数在1，上是增函数，. 由，得，又，不合题意 11分 当1时，若1，则，若，则函数在上是减函数，在上是增函数.由，得，又1， 12分当且1，时，函数在上是减函数.由，得，又，综上所述，的取值范围为 14分17（08重庆卷）设函数曲线通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1）处的切线垂直于y轴.（）用a分别表示b和c；（）当bc取得最小值时，求函数的单调区间.解：()因为 又因为曲线通过点（0，2a+3）, 故 又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故 即-2a+b=0,因此b=2a. ()由()得 故当时，取得最小值-. 此时有 从而 所以 令，解得 当 当 当 由此可见，函数的单调递减区间为（-，-2）和（2，+）；单调递增区间为（-2，2）.【答案】存在，使等式成立，证明见解析23 已知函数(1)若t1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程以及f(x)的极值；(2)设函数g(x)(1t)x，若存在x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，求实数t的最大值【答案】(1) 2 (2) 【解析】(1)依题意，函数f(x)的定义域为(0，)，当t1时，f(x)x23xln x，f(x)2x3.由f(1)0，f(1)2，得曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2.令f(x)0，解得x或x1，f(x)，f(x)随x的变化情况如下：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值由表格知，f(x)极大值fln，f(x)极小值f(1)2.(2)由题意知，不等式f(x)g(x)在区间1，e上有解，即x22xt(ln xx)0在区间1，e上有解当x1，e时，ln x1x(不同时取等号)，ln xx22ln x，h(x)0，h(x)单调递增，x1，e时，h(x)maxh(e).t，实数t的最大值是. 22.已知函数（）当时，求函数 的单调区间；（）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围（）求证：（，是自然对数的底数）.20. 解：（）当时，由解得，由解得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为（）因当时，不等式恒成立，即恒成立，设，只需即可.由,（）当时，当时，函数在上单调递减，故成立；（）当时，由，因，所以，若，即时，在区间上，则函数在上单调递增，在上无最大值(或：当时，)，此时不满足条件；若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件；（）当时，由，故函数在上单调递减，故成立.综上所述，实数的取值范围是.（）据（）知当时，在上恒成立，又，.12019黄山一模已知函数，（为自然对数的底数）（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，不等式成立【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由题意知，当时，解得，又，即曲线在点处的切线方程为（2）证明：当时，得，要证明不等式成立，即证成立，即证成立，即证成立，令，易知，由，知在上单调递增，上单调递减，所以成立，即原不等式成立12019青海联考已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当有最小值，且最小值不小于时，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），当时，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，当时，故函数在上单调递减；当时，故函数在上单调递增（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，没有最小值，故，整理得，即令，易知在上单调递增，且；所以的解集为，所以16函数，若关于的方程有三个不同实根，则的取值范围是 16.设工厂A到铁路的垂直距离为20km，垂足为B，铁路线上距离B100km的地方有一个原料供应站C，现在要从BC中间某处D向工厂修一条公路，使得原料供应站C到工厂A所需运费最省.问D应选在何处？已知每一公里的铁路运费与公路运费之比为3：5.解：令BD=x，则AD=，CD=100-x，如果公路每公里的运费为a，则铁路每公里运费为a.于是从原料供应站C途中经中转站D到工厂A所需总运费.y=a+a（100-x）（0x100）=-a=令=0，得5x=3 x=15从实际问题可知，运输费用一定有最小值，而此函数是有惟一驻点，故x=15时取最小值，即D取在距B为15km处为最好.19 （本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件.（1）求分公司一年的利润与每件产品的售价的函数关系；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值。19解：（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：（2）令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负 所以（a）当即时，（b）当即时， 所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）13.(07海南)设函数（）讨论的单调性；（）求在区间的最大值和最小值解：的定义域为（）当时，；当时，；当时，从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少（）由（）知在区间的最小值为又所以在区间的最大值为20（本小题满分14分）已知函数，其中.（1）是否存在实数使是函数的极值点；（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围。20（1），其定义域为， 是函数的极值点，即 ， 检验当时，是函数的极值点， （2）解：对任意的都有成立等价于对任意的都有 当1，时，函数在上是增函数 ，且，当且1，时，函数在1，上是增函数，.由，得，又，不合题意 当1时，若1，则，若，则函数在上是减函数，在上是增函数.由，得，又1， 当且1，时，函数在上是减函数.由，得，又，综上所述，的取值范围为 22（本小题满分12分）设，已知函数，（1）求的单调区间；（2）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围22【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）（）见解析，（）【思路分析】（1）先求函数的导数，再根据，求得两个极值点的大小关系，进而可得函数的单调区间；（2）（）根据与有共同的切线，根据导数的几何意义建立方程，可求得；（ii）将不等式转化为，再根据前两问可知是极大值点，由（1）知在内单调递增，在内单调递减，从而在上恒成立，可得，构造函数，根据单调性可求函数的值域，即得b的取值范围当变化时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）（i）因为，由题意知，所以，解得所以在处的导数等于0另一方面，由于，故，由（1）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立由，得，令，则，令，解得（舍去）或因为，故的值域为所以的取值范围是【名师点睛】本题考查导数的应用，属于中档问题，第一问的关键是根据条件判断两个极值点的大小，从而避免讨论；第二问要注意切点是公共点，切点处的导数相等，求的取值范围的关键是得出，然后构造函数进行求解17(本小题满分12分)已知函数，曲线在处的切线为l：3xy10，当时，有极值(1)求的值；(2)求在3,1上的最大值和最小值17【解析】(1)由，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0.当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40.由、解得a2，b4.由于l上的切点的横坐标为x1，f(1)4.1abc4.c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，得x2，或x.x3，2)2f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在x2处取得极大值f(2)13.在x处取得极小值f.又f(3)8，f(1)4.f(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.15函数，若关于的方程有三个不同实根，则的取值范围是 9.设直线与函数的图像分别交于点M、N，则当达到最小时的值为（ ）15（福建卷）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为. （）求函数的解析式；（）求函数的单调区间.解：（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.22(14分)(2009长望浏宁)设函数f(x)ax(a1)ln(x1)，其中a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x0时，证明不等式：ln(x1)x；(3)设f(x)的最小值为g(a)，证明不等式：g(a)0)f(x)0，解得x当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(1，)(，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，当x(1，)时，f(x)0，函数f(x)在(，)内单调递增所以，函数f(x)的单调减区间是(1，)，函数f(x)的单调增区间是(，)(2)设(x)ln(x1)，x0，)对(x)求导，得：(x)当x0时，(x)0，所以(x)在(0，)内是增函数所以(x)在0，)上是增函数当x0时，(x)(0)0即ln(x1)0，ln(x1)同理可证ln(x1)x，ln(x1)x.(3)由(1)知，g(a)f()1(a1)ln(1)将x代入ln(x1)x得：ln(1)即：1(a1)ln(1)11(a1)ln(1)0，即g(a)0)至多有两个解，求实数a的取值范围解：(1)f(x)3x22ax30，x1，a(x)当x1时，(x)是增函数，其最小值为(11)0，a0.(2)令h(x)f(x)(a23)x1，h(x)3x22axa20，得xa或x，a0，有x(，)(，a)a(a，)h(x)00h(x)a31a31x时h(x)有极大值，h(x)极大值h()a31.xa时h(x)有极小值，h(x)极小值h(a)a31，若方程f(x)(a23)x1(a0)至多有两个解，h(a)0或h()0，a310或a310(舍)，解得00.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x0时，证明不等式：ln(x1)x；(3)设f(x)的最小值为g(a)，证明不等式：g(a)0)f(x)0，解得x当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(1，)(，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，当x(1，)时，f(x)0，函数f(x)在(，)内单调递增所以，