《线性微分方程组》PPT课件.ppt

4.1 一阶线性微分方程组的一般概念 4.2 一阶线性齐次方程组的一般理论 4.3 一阶线性非齐次方程组的一般理论 4.4 常系数线性微分方程组的解法,第4章 一阶线性微分方程组,4.1 、线性微分方程组的有关概念,1 线性微分方程组的定义,定义,形如,的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.,(4.1),称为(3.1)的通解.,3.1,（4.1）,2 函数向量和函数矩阵的有关定义,(1),n维函数列向量定义为,注:,对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立.,(2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念,可微函数,可微,可积函数,可积,此时,它们的导数与积分分别定义为,注:,关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.,(3 ) 矩阵向量的范数,定义,3 一阶线性微分方程组的向量表示,对一阶线性微分方程组:,则(4.1)可写成,(4.1),（4.4）,(1)定义1,(2)定义2,初值问题,（4.4）,（4.5）,4.4,相应的齐次方程为,柯西问题,（4.4）,（4.5）,非齐次方程,通解,通积分,解:,显然,4 n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题关系,对n阶线性微分方程的初值问题,若令:,4.6,则有:,而且:,即方程(4.6)可化为,4.7,显然:,4.6,4.7,且:,事实上,由,知,即,且,即初值问题(4.6)与(4.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解.,化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.,解:,设,则有,即有,也即,注:,每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微 分方程构成方程组,反之却不成立.,如:,方程组,不能化为一个二阶微分方程.,4.2一阶线性齐次方程组的一般理论,1 存在唯一性定理,（3.5）,2. 一阶线性齐次方程组解的结构,1. 一阶线性齐次方程组,叠加性:,方程(4.10)的任何两个解的线性组合仍是解.,定理4.2,(4.12),定义4.1, 例题,例1 判别向量函数 的相关性,要, 例题,成立,例2 判别向量函数 的相关性,要使得,线性无关,线性无关,例3 判别向量函数 的相关性,成立,要使得,定义3.2,规定为朗斯基行列式,(3.18),定理:,即向量函数组线性相关，则其朗斯基行列式恒为零。,定理:,即朗斯基行列式在一点处非零，则向量函数组线性无关。,定理3.3:,定理3.3,即齐次方程的解组线性无关，则其朗斯基行列式恒不为零。,定理3.4,定义3.3,即 n阶齐次方程的n个线性无关解称为基本解组。,即 由基本解组构成的矩阵称为基解矩阵,定理3.5,齐次方程（3.10）必存在基本解组。,定理,刘维尔公式,三、 一阶线性非齐次方程组解的结构,定理3.6,叠加性:,方程(3.8)的任何解与(3.10)的解的和仍是(3.8)的解.,方程(3.8)的任何两个解的差是(3.10)的解., 3.3常系数线性微分方程组的解法,但是对于一般的方程组(3.10)，如何求出基本解组，至今尚无 一般方法.,求线性齐次方程组(3.10)的通解问题，归结到求其基本解组.,然而对于常系数线性齐次方程组,约当标准型的形式与矩阵A的特征方程的根的情况有关,上述方程也称为常系数齐次方程组(3.24)的特征方程式,(3.21),1、 矩阵A的特征根均是单根的情形.,2、 矩阵A的特征根有重单根的情形.,易见方程组有n个解,1、 矩阵A的特征根均是单根的情形.,把这n个解代回变换之中，便得到方程组(3.24)的n 个解,即：方程组(3.24)的系数阵A的n个特征根,是方程组(3.24)的一个基本解组,定理,例題1 求以下微分方程組的通解,解,因此基本矩阵为,故通解为,或以分量表示为,例2 试求方程组的通解,解 它的系数矩阵是,特征方程是,先求,对应的特征向量,a, b, c满足方程,这三个特征根所对应的特征向量分别是,故方程组的通解是,可求出另两个特征根所对应的特征向量，, with(LinearAlgebra);, A:= , , : Eigenvalues(A): Eigenvectors(A): T1:= , , : T2:= , , : T3:= , , : Y:=C1*e(3*t)*T1+C2*e(2*t)*T2+C3*e(6*t)*T3;,现在考虑复根情形,因为A是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设,是一对共轭根，由定理对应解是,其中T1，T2是特征向量，这是实变量的复值解， 通常我们希望求出方程组（3.24）的实值解,定理 如果实系数线性齐次方程组,则其实部和虚部,定理,的向量函数，b1,b2是两个不等于零的常数，则向量函数组,在区间(a, b)上仍是线性无关的.,实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果=a+ib是特征根，则其共轭,也是特征根,如果,是区间(a,b)上的n个线性无关,的复值解形式是,方程组(3.24)对应于,是对应于,的特征向量.由于矩阵A是实的，所以上述,向量的共轭向量是方程组(3.24)对应于特征根,的解，记作,现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为,它们分别是方程组(3.24)的解， 并且由此得到的n个解仍组成基本解组.,例题 求以下微分方程组的通解,解,例2 试求方程组的通解,解 它的系数矩阵是,特征方程是,所以矩阵A的特征根为,先求,对应的特征向量,再求,所对应的特征向量,满足方程组,用2i乘上述第一个方程两端，得,即,显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即,求它的一个非零解.不妨令,则,于是,故，原方程组的通解为, A:= , , : Eigenvalues(A): Eigenvectors(A): T1:= , , : T2:= , , : T3:= , , : et*(cos(2*t)+I*sin(2*t)*T2: simplify(%): U:= , , : V:= , , : Y:=C1*e(1*t)*T1+C2*U+C3*V;, with(LinearAlgebra);,2、 矩阵A的特征根有重根的情形,例3 求解方程组,解 系数矩阵为,特征方程为,特征根为,对应的解是,下面求,所对应的两个线性无关解.由定理，其解形如,并且,满足,由于,那么由,可解出两个线性无关向量,可解出两个线性无关向量,将上述两个向量分别代入,中，均得到,为零向量.于是,对应的两个线性无关解是,最后得到通解, with(LinearAlgebra);, A:= , , : E:= , , : Eigenvalues(A): Eigenvectors(A): Y1:=e(2*x)* , , : C:=evalm(A+E): AA:=evalm(C,例4 求解方程组,解 系数矩阵为,特征方程为,特征根为,对应的解是,并且,满足,由于,对应的3个线性无关解是,最后得到通解, with(LinearAlgebra);, A:= , , : E:= , , : Eigenvectors(A): C:=evalm(A-2*E): AA:=