《维定态问题》PPT课件.ppt

不含时间的薛定谔方程，定态问题,由初态(x,t0)求 (x,t)一般是很困难的， 特例，即位势与时间无关，V(r,t)=V(r),（1） 不含时间的薛定谔方程,由于H与t无关，可简单地用分离变数法求特解。,当H与t无关时，含时间的薛定谔方 程的特解为： 其中 。 方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为 能量本征方程。,A. 在上述方程中，E实际上是体系的能量。,B. 一般而言，上述方程对任何E值都有非零解。但由于对波函数有一定要求（自然条件），以及一些特殊的边界要求（ 无穷大位势边界处 等）。这样能满足方程的解就只有某些E值。,C. 根据态叠加原理 是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是 该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可 表为,(非定态),通常称 （其中 ）为定态波函数。 （2） 定态： A. 定态定义：具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数,1体系在初始时刻（t0）处于一定能量 本征态 ，则在以后任何时刻，体系都处于 这一本征态上，即 。它随时 间变化仅表现在因子 上 。,3几率流密度矢不随时间变化。,4.任何不含 t 的力学量在定态的平均值不随时间变化.,5任何不显含 t 的力学量在定态中取值的几率不随时间变化。,B. 定态的性质：,2体系的几率密度不随时间变化。,第三章 一维定态问题 现在从最简单的问题来应用所得的原理和方 程：一维，不显含时间的位势 且位势有一定性质时，如 则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题 是解决三维问题的基础。,3.1一般性质 设粒子具有质量m，沿x轴运动，位势为 ， 于是有 （1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态）， 一般是不简并的。 简并度（degeneracy）：一个力学量的某个 测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波函 数中测得，则称这一 测量值是具有n 重简并度。,如某能量本征值有 n 个独立的定态相对应，则 称这能量本征值是 n 重简并的。 证：假设 , 是具有同样能量的波函数 (1) (2),从而得 于是 (c是与 x 无关的常数) 对于束缚态 （或在有限区域有某 值使 ），所以 c0。从 而有,若 不是处处为零，则有 注意: . 分立能级是不简并的，而对于连续谱时，,若一端 ，那也不简并。但如两端都不趋于0 （如自由粒子），则有简并。 当变量在允许值范围内（包括端点）， 波函数无零点，就可能有简并存在。（因常数 c0）。 当 V(x) 有奇异点，简并可能存在。因 这时可能导致 处处为零。,推论：一维束缚态的波函数必为实函数（可 保留一相因子）。 证 令 （ 都是实函数） 则,但对束缚态，没有简并，所以只有一个解， 因而 Rn 和 In 应是线性相关的，所以 因此，,（2）不同的分立能级的波函数是正交的。 （1） （2）,所以 从而证明得 。 （3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列， 一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值 范围内有n个节点（即有n个x点使 ，不 包括边界点或远）。,1(x),2(x),3(x),4(x),( 4）在无穷大位势处的边条件：首先讨论V(x) 有有限大小的间断点，由方程 即,由于 存在，即 存在， 即 的导数存在，所以函数连续，也就是波 函数导数连续。 而在位势是无穷时又如何呢？ 设,令 , 所以， 得解,要求波函数有界，所以C0， 要求波函数x=0处连续，且导数连续 当E给定， 所以， ,于是，当 , 方程有解 这表明，在无穷大的位势处，波函数为0， 边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导 数的连续性。但，几率密度和几率流密度矢 总是连续的。,3.2阶梯位势：-最简单的定态问题,(1) 当 令 ，,由波函数有界, C0 在x0处，波函数连续，波函数导数连续， 解得 ,对E没有限制，任何E都可取，即取连续值。 因它不是束缚态（ ，并不趋于0），但 它不简并（因 ， ）。 讨论： A. 处，经典粒子不能去的地方，但 仍有一定的几率发现量子粒子。 B 区域，有沿x方向的平面波和沿x 反方向的平面波, 且振幅相同，构成一驻波。,这一驻波，在 处为0。,x,0,C. 几率流密度矢： i. 透射几率流密度矢（ ）jT0（因 是实函数） . 在区域 ，有向右的几率流密度， 即入射几率流密度矢 = iii. 在区域， 也有左的几率流密度，即反射几率流密度矢 =,所以，总几率流密度矢为 0。当 ，入射 粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域 中。 定义：1. 反射系数 ，现 R=1; 2. 透射系数 ，现 T=0。 (2) 当 , 求粒子从左向右方入射的解。,令 ，,由初条件，粒子由左向右入射，由于在x=0 处位势有间断点，所以， 区域有入射波， 也有反射波；但在 处，位势无间断点，所 以，只有入射波，无反射波，因此， C0。 由波函数及其导数连续，有,得 ， 结果有 讨论： 在 时，区域 有一沿x方向传播 的平面波，显然，,= = 。 从而得 反射系数 = 透射系数 = 显然,上讲内容,定态,薛定谔方程的特解,不含时间的薛定谔方程，或称为能量本征方程。,态叠加原理,(非定态),定态的性质,最简单的定态问题一维定态问题,1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的。,一维束缚态的波函数必为实函数（可保留一相因子）。,2:不同的分立能级的波函数是正交的。,波函数的自然条件：单值，有界、连续,波函数的导数连续吗？,当势场有有限大小的间断时，波函数的导数连续，无穷大位势不要求波函数导数连续。,3.3位垒穿透： （1）EV0：从左向右入 射，所以在 区域有 解eikx（入射波）；e-ikx （ 反射波） 区域有解 eikx （透射波）。,沿x方向的几率流密度为 ， ， 所以只要求得 , 即可。 对于 有方程,有解 其中 由 ， 处， ， 连续 得,得 于是有,从而得 代回得,于是有 （2）当EV0 这时只要将 ，并由 ， 得,隧穿效应,从而有,（3）结果讨论： A （EV0 或EV0 ），即几率流 密度矢连续。,当Ka1时，,当EV0时，仍有一定几率流透射过去；,B. 当EV0时，仍有一定几率流被反射,但当k1a=n时，T1，即完全透射过去。这种现象称为共振透射（仅在 EV0条件下发生）,这时,被称为共振能级。,3.4方位阱穿透：这时只要将 即可。,其中 ， 。 当 时，则同样出现 ，即共振 透射。这时， ( n 取值应保证 En 大于零),3.5一维无限深方势阱 。 （1）能量本征值和本征函数： ，,有解 其中 要求波函数在 处连续（当然，并不 要求导数连续），于是有,要求A，B不同时为0，则必须系数行列式为0。 即,. 代入方程得 . 代入方程得 所以，,相应的本征能量为 （2）结果讨论：,A. 根据一定边条件，要求( 处，波 函数连续），薛定谔方程自然地给出能级的量子 化。 B. 一个经典粒子处于无限深位阱中，可 以安静地躺着不动。但对量子粒子而言， 所以， ， ，即 不能