数列极限22收敛数列的性质

一、唯一性,本节首先考察收敛数列这个新概念有哪些优良性质,然后学习怎样运用这些性质.,数学分析 第二章 数列极限,二、有界性,六、极限的四则运算,五、迫敛性（夹逼原理）,四、保不等式性,三、保号性,七、一些例子,*点击以上标题可直接前往对应内容,唯一性,下面证明对于任何,定数,若 a，b 都是 an 的极限，则对于任何正数 0,2 收敛数列的性质,后退 前进 目录 退出,唯一性,有界性,保号性,保不等式性,当 n N 时 (1), (2)同时成立,从而有,2 收敛数列的性质,唯一性,有界性,保号性,保不等式性,有界性,即存在,证,若令,若数列,注 数列,是有界的, 但却不收敛.,这就说明,有界只是数列收敛的必要条件, 而不是充分条件.,对于正数,2 收敛数列的性质,唯一性,有界性,保号性,保不等式性,有,保号性,对于任意两个实数 b, c ,证,这也是称该定理为保号性定理的原因.,存在 N, 当 n N 时,2 收敛数列的性质,唯一性,有界性,保号性,保不等式性,保不等式性,均为收敛数列,证,所以,2 收敛数列的性质,唯一性,有界性,保号性,保不等式性,如果存在正数,是严格不等式.,注 若将定理 2.5 中的条件 改为,这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定,也只能得到,2 收敛数列的性质,唯一性,有界性,保号性,保不等式性,迫敛性 (夹逼原理),这就证得：,证 对任意正数,满足:,则,所以分,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,所以由迫敛性，得,又因,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,四则运算法则,(1),(3),也都是收敛数列, 且有,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,所以,的任意性, 得到,证明 (1),2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,的任意性, 证得,于是,证明 (2),对于任意,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,证明 (3),由(2),据保号性,又因为,只要证明,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,即,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,一些例子,例3 用四则运算法则计算,(1) 当 m=k 时, 有,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,(2) 当 m k 时, 有,=0,所以,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,例4,对于任意,于,是可得,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,例5,N, 当 nN 时, 有,所以由极限的迫,敛性, 证得,存在,又因为,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,例6,解,所以由极限四则,运算法则,故得,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,得,注,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,证,由,以及极限的迫敛性,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,与,得,注,2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,例8,证 (必要性),2 收敛数列的性质,迫敛性（夹逼原理）,极限的四则运算,一些例子,例9,