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热点专题突破系列(二) 三角函数与平面向量的综合应用,考点1 三角函数的求值与平面向量的综合 【典例1】(2014中山模拟)已知向量a=(sin ,-2)与b=(1,cos )互相垂直，其中 (1)求cos ,sin 的值. (2)若 求cos 的值.,【解题视点】(1)由向量a与b互相垂直列关于sin ,cos 的方程，解方程即可. (2)承接(1)的结论，利用两角差的余弦公式解答.,【规范解答】(1)因为ab， 所以ab=sin -2cos =0, 即sin =2cos . 又sin2+cos2=1， 所以4cos2+cos2=1，即 因为 所以,(2)由 得 即 所以sin =cos . 因为 所以,【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤 (1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出，把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式. (2)利用三角恒等变换进行条件求值.,【变式训练】(2014太原模拟)已知向量 b=(cos x,-1). (1)若(a+b)(a-b)，求cos 2x的值. (2)若ab,求cos2x-sin 2x的值.,【解析】(1)因为(a+b)(a-b), a+b= a-b= 所以(a+b)(a-b)= 即,(2)因为ab, 所以 即 所以cos2x-sin 2x=,【加固训练】设向量a=(4cos ,sin ),b=(sin ,4cos ), c=(cos ,-4sin ). (1)若a与b-2c垂直，求tan(+)的值. (2)求|b+c|的最大值. (3)若tan tan =16,求证：ab.,【解析】(1)因为b-2c=(sin -2cos ,4cos +8sin ), a与b-2c垂直， 所以4cos (sin -2cos )+sin (4cos +8sin )=0, 即sin cos +cos sin =2(cos cos -sin sin ), 所以sin(+)=2cos(+), 所以tan(+)=2.,(2)因为b+c=(sin +cos ,4cos -4sin ), 所以|b+c|= 所以当sin 2=-1时，|b+c|取最大值，且最大值为,(3)因为tan tan =16, 所以 即sin sin =16cos cos , 所以(4cos )(4cos )=sin sin , 即a=(4cos ,sin )与b=(sin ,4cos )共线， 所以ab.,考点2 三角函数的性质与平面向量的综合 【典例2】(2014烟台模拟)已知平面向量a=(cos ,sin ), b=(cos x,sin x),c=(sin ,-cos )，其中0,且 函数f(x)=(ab)cos x+(bc)sin x的图象过点 (1)求的值及函数f(x)的单调增区间. (2)先将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位，然后将得到函 数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在 上的最大值和最小值.,【解题视点】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公式化简函数解析式，由函数f(x)的图象过定点确定的值，并由此求函数f(x)的单调增区间. (2)先根据图象变换的法则确定函数g(x)的表达式，并由此根据给定的范围求函数g(x)的最值.,【规范解答】(1)因为ab=cos cos x+sin sin x =cos(-x), bc=cos xsin -sin xcos =sin(-x). 所以f(x)=(ab)cos x+(bc)sin x =cos(-x)cos x+sin(-x)sin x =cos(-x-x) =cos(2x-), 即f(x)=cos(2x-),所以 而0, 所以 所以 由 得 即f(x)的单调增区间为,(2)由(1)得，f(x)= 平移后的函数为 于是 当 所以 即当 时，g(x)取得最小值 当 时，g(x)取得最大值1.,【规律方法】平面向量与三角函数性质的综合问题的解法 (1)利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题. (2)利用三角函数恒等变换公式(尤其是辅助角公式)化简函数解析式. (3)根据化简后的函数解析式研究函数的性质.,【变式训练】(2014成都模拟)已知向量 b=(cos x,cos x)(0),若f(x)=ab,且f(x)的最小正周期为. (1)求的值. (2)试述由y=sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到f(x)的图象. (3)求y=f(x)的值域.,【解析】(1)f(x)=ab =sin xcos x+cos2x 所以,(2)由(1)，得 首先把y=sin x的图象向左平移 个单位，得 的 图象；其次把 的图象纵坐标不变，横坐标变为原 来的 倍，得 的图象；然后把 的横 坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得 的图 象；最后，把 的图象向上平移 个单位，得 的图象. (3)因为 所以f(x)的值域是,【加固训练】(2014保定模拟)已知O为坐标原点， (1)求y=f(x)的单调递增区间. (2)若f(x)的定义域为 值域为2,5，求m的值.,【解析】(1) 由 得y=f(x)的单调递增区间为,(2)当 所以 所以1+mf(x)4+m,考点3 平面向量在三角形计算中的应用 【典例3】 (2014兰州模拟)已知ABC的面积是30，三内角 A，B，C所对边长分别为a,b,c, (1)求 (2)若c-b=1,求a的值.,【解题视点】(1)由 可求得sin A的值，根据ABC的面积可求得bc的值，利用平面向量数量积公式求 的值. (2)由边的关系及余弦定理求a的值.,【规范解答】(1)由 得 (2)因为c-b=1,bc=156, 所以a2=b2+c2-2bccos A 即a=5.,【规律方法】平面向量与三角形计算综合问题的解法 (1)利用平面向量数量积的计算公式，把问题转化为三角形中的计算问题，在三角形中，结合三角形内角和公式、正余弦定理、三角形的面积公式进行相关计算. (2)先在三角形中利用相关公式进行计算，再按要求求向量的数量积、夹角、模等.,提醒：解决三角形中向量夹角问题的思维误区是不注意向量的方向，从而弄错向量的夹角.,【变式训练】(2014天津模拟)ABC的三个内角A，B，C所对 的边分别为a,b,c，向量m=(-1,1), 且mn. (1)求A的大小. (2)现给出下列四个条件：a=1;b=2sin B; B=45.试从中再选择两个条件以确定ABC，求出你所确定 的ABC的面积.,【解析】(1)因为mn, 所以 即 因为A+B+C=180， 所以cos(B+C)=-cos A, 所以 又0A180, 所以A=30.,(2)方法一：选择可确定ABC. 因为A=30， 由余弦定理 整理得 所以,方法二：选择可确定ABC. 因为A=30，a=1,B=45, 所以C=105. 因为sin 105=sin(60+45)=sin 60cos 45+ cos 60sin 45= 由正弦定理,【加固训练】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,