《解的结构》PPT课件.ppt

复习：,向量组的极大无关组,向量组的秩,第五节 线性方程组解的结构,一.齐次线性方程组解的结构：,例 解方程组,解,问题1：无穷多个向量如何找极大无关组？,问题2：极大无关组的线性组合是否仍然是 方程组的解？,解向量组,若能找出一个极大无关组，则：,每一个解向量都可由极大无关组线性 表出,1.齐次线性方程组解的性质：, 两个解的和还是解, 一个解的倍数还是解,综合以上两点可知：对于齐次线性方程组，解的线性组合还是解.如果找到一个解向量组的极大无关组，则：,1、每一个解向量都可由极大无关组线性表出。,2、极大无关组的线性组合仍然是方程组的解。,综上：对于齐次线性方程组的解向量组，只要 找到一个极大无关组即可。,齐次线性方程组的解向量组的一个极大无关组称为方程组的一个基础解系,2.基础解系：,由基础解系的定义可知，基础解系应满足如下条件：,（1 ）线性无关；,（2 ）任一个解都能由它线性表出.,注： 基础解系一般不惟一,思考：为什么？,3.求一组基础解系的方法：,简化阶梯形,自由未知量,取值,就是基础解系。,设 为方程组,任一解,故,即任一解都可由 线性表出,定理 如果齐次线性方程组有非零解，那么它一定有基础解系,4.基础解系的存在性,，且基础解系含有 个解向量,注： 基础解系含有 个解向量， 来自于自由未知量的个数,例1 求齐次方程组的基础解系及通解,方程组的一般解为,得基础解系,故通解为,（ 为任意常数）,二非齐次线性方程组解的结构,线性方程组有解,有惟一解,有无穷多解,任意一个确定的解都称为它的一个特解.,构成了一个解向量组,思考：能否用极大无关组表示非齐次线性方程组的全部解？,1、非齐次线性方程组的任意解能否用其解向量组的极大无关组表示？,2、非齐次线性方程组的解向量组的极大无关组的线性组合，是否仍是非齐次线性方程组的解？,1、两个非齐次的解相加，是否是非齐次的解？,2、非齐次的解的倍数，是否是非齐次的解？,结论：非齐次的解的线性组合不一定是非齐次的解,非齐次的解向量组,非齐次的解向量组的极大无关组的线性组合,非齐次的解向量组的极大无关组对解的结构问题毫无意义！,齐次线性方程组 称为非齐次线性方程组 的导出组,.非齐次线性方程组的两个解的差是其导出组的解.,总之，两条：,非齐次减非齐次是齐次,非齐次加齐次还是非齐次,1.非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有如 下关系：,.非齐次线性方程组的一个解与它的导出组的 一个解的和还是非齐次线性方程组的解.,可以通过齐次（导出组）的解的结构，研究非齐次的解的结构,2.非齐次线性方程组解的结构,若非齐次方程有无穷多解,，则其通解可表示为,其中 是其任意一个特解，,是其导出组的基础解系，,这是因为:,确实是非齐次方程的解.,为什么？,（2）非齐次方程的任意一个解都可以表示成,设,是非齐次方程的任意一个解，,则,是其导出组的解,于是：,即非齐次方程的任意一个解都可以表示成：,非齐次线性方程组的解向量组,是任意实数.,3求非齐次线性方程组通解的步骤,简化阶梯形,得特解,得导出组的基础解系,其中 是任意常数,写出导出组的一般解,即为非齐次方程的通解，,例2 用基础解系表示方程组的全部解,方程组的一般解为,得方程组的一个特解,原方程组的导出组的一般解为,得基础解系,故原方程组通解为,其中 为任意常数.,1.理解齐次线性方程组的基础解系、通解等概念,2.理解齐次线性方程组解的性质，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法,3.理解非齐次线性方程组解的性质，掌握非齐次线性方程组通解的求法,小 结,1.求齐次线性方程组的一个基础解系,课堂练习：,令 得基础解系为,答案：,2.用基础解系表示线性方程组的全部解,课堂练习：,答案：,全部解为,（ 为任意常数）,也是 的基础解系,补例,1.设 是 的一个基础解系，证明：,证：,(1)证 的基础解系存在，且含3个解,是 的解,因为 是 的一个基础解系,故 的基础解系存在，且含3个解,(2)证,是 的解,也是 的基础解系,1.设 是 的一个基础解系，证明：,证：,是 的解,同理,也是 的解,(3)证,线性无关,设存在k1, k2, k3使得,因,线性无关,故,故,线性无关,证毕！,1.设 是 的 个线性 无关的解向量，且 证