空间向量法解决立体几何问题.ppt

利用空间向量解决立体几何问题,数学专题二,学习提纲,二、立体几何问题的类型及解法,1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。,1、直线的方向向量； 2、平面的法向量。,一、引入两个重要空间向量,一.引入两个重要的空间向量,1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是,2.平面的法向量,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量.,n,例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 直线OA的一个方向向量坐标为_ 平面OABC 的一个法向量坐标为_ 平面AB1C 的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na = 0且nb = 0,则n .,a,b,n,练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz, 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2),取z =1,解得:,得:,由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）,练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求平面EDB的一个法向量.,A,B,C,D,P,E,解：如图所示建立空间直角坐标系.,设平面EDB的法向量为,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.,用向量方法解决几何问题,二、 立体几何中的向量方法 平行关系,m,l,一. 平行关系：,例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行,已知 直线l与m相交,例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形, PD底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的 中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE/FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证 ：如图所示, 建立 空间直角坐标系.,/,AE与FG不共线,几何法呢？,例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1 立体几何法,A,B,C,D,P,E,解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG,A,B,C,D,P,E,解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,设平面EDB的法向量为,几何法呢？,几何法呢？,三、 立体几何中的向量方法 垂直关系,二、垂直关系：,l,m,l,A,B,C,例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD 的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.,证1 立几法,例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD 的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.,证2,MNAB, 同理 MNCD.,例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.,证2 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.,x,y,Z,x,y,练习 棱长为a 的正方体 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：,Z,x,y,解：如图所示建立空间 直角坐标系，设AF=BE=b.,A,B,C,D,P,E,F,证1：如图所示建立 空间直角坐标系，设DC=1.,A,B,C,D,P,E,F,证2：,证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，,所以,证明2：,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,证明：,E,求证：平面EBD,设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系,平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一个法向量是,平面C1BD.,平面EBD,证明2：,E,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,求证：平面EBD,A,B,C,D,P,G,例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (1)A1E 平面DBC1; (2)AB1 平面DBC1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (1) =- n,从而A1E 平面DBC1 (2) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1,例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED平面A1FD,证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A- xyz,平面AED平面A1FD,解得：,于是 ，,设：正方体的棱长为2, 那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),3.求解空间中的距离,(1)异面直线间的距离 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算. 如图,设两条异面直线a、b的公 垂线的方向向量为n, 这时分别在 a、b上任取A、B两点,则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线 a、b的距离. 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.,例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.,z,x,y,A,B,C,D,D1,C1,B1,A1,解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得 n=(-1,-1,2). , 异面直线AC1与BD间的距离,(2)点到平面的距离 A为平面外一点(如图), n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH. = = . 于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.,n,A,B,H,例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90, 求B1到面A1BC的距离.,z,x,y,C,C1,A1,B1,A,B,解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). , 或 , 或 , 可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.,会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求. 例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ABC=60, 侧棱PA底面AC且PA= 4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离.,z,y,P,B,E,A,D,C,F,解:以A为原点、AB为x轴、ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F 为CD的中点,于是 A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 ,0), C(2, 2 ,0), D(-2, 2 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2). 设面BED的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(1, ,2). n 2+6-8=0，故