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文档简介
宿迁青华中学 徐守高,夏之青华,一、问题情境,世界充满着变化,有些变化几乎不被人们所感觉,而有些变化却让人们发出感叹与惊呼例如:,1.蹦极运动,2.温度变化,某市2012年4月18日最高气温为3.4,而4月20日最高气温分别为24.4 ,短短两天时间,气温陡增21,闷热中的人们无不感叹:“天气热得太快了! 但是,如果我们将该市2012年3月18日最高气温3.5与4月18日最高气温18.6进行比较,我们发现两者温差为 15.1,甚至超过了14.8而人们却不会发出上述感叹 这是什么原因呢?,原来前者变化得太快,而后者变化得缓慢,问题2、从数学的角度,如何刻画变量 变化的快与慢?,问题1、气温陡增(降)是一句生活用语, 它的数学意义是什么?,先来分析下面的气温曲线图(以3月18日作为第1天),问题1、 “气温陡增”的 数学意义是什么呢?,二、学生活动,E,D,陡峭的程度反映了气温变化的快与慢,问题2、如何量化陡峭程度呢?,用比值!,问题2、如何量化陡峭程度呢?,称该比值为气温在区间32,34上的 平均变化率。,如蹦极运动中的下降距离H(t)在t0,t1上的平均变化率可表示为:,问题3、平均变化率的计算,水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图) ,t 秒钟后容器甲中水的体积为 V (t)=5e-0 .1t (单位cm3) , 计算第一个10 秒内V 的平均变化率,例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。,知识运用,三、建构数学,回顾前面三个问题:,(1)蹦极问题中某段时间内下降距离的平均变化率;,(2) 气温在某段时间内的平均变化率;,(3)容器甲中液体体积在某段时间内的平均变化率。,可以发现它们都涉及三个量,即,三、建构数学,四、数学理论,1、函数的平均变化率:,函数值的改变量与对应的自变量的改变量的比值。,2、符号表示:,一般地,函数y=f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为,3、注意点:,(1)平均变化率是y/ x,是一个比值,,(2)y、 x的取值情况。,4、求平均变化率的基本步骤:,(1)作差: y=f(x2)-f(x1), x=x2-x1;,(2)作商: y/ x= f(x2)-f(x1)/(x2-x1)。,5、思想方法:,(1)数形结合:数缺形时少直观,形少数时难入微,- 华罗庚,五、数学运用,例1、已知函数f(x) = x2,分别计算函数f(x) 在下列区间上的平均变化率,(1) 1,3;(2) 1,2;(3)1,1.1;(4)1,1.001; (5)0.999,1.,反思:回顾解题过程及结果,你有什么收获?,(1)同一个函数在不同区间上的平均变化率 不一样;,(2)区间越小,平均变化率越接近于某个常数。,例2、 已知函数f(x) = 2x + 1,分别计算在下列区间 上函数f(x)的平均变化率 (1)3,1; (2)0,5,反思:,(1)函数f(x)=2x+1在不同区间上的平均变化率由什 么特点?,(2)变式:对函数g(x)=-2x呢?,(3)一次函数f(x)=kx+b(k0)在区间m, n上的平均变化 率有什么特点吗?,平均变化率是斜率的推广,斜率是平均变化率的特例。平均变化率的数学意义!,尝试练习 航天飞机发射后的一段时间内,第t秒的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中t的单位为s,h的单位为m,求第1s内的平均速度。,解:,平均速度就是位移关于时间的变化率 -平均变化率的物理意义!,反思:,六、小结收获,1、平均变化率的概念;,2、平均变化率的实际意义、数学意义; (回到开头的问题),3、由于平均变化率只是
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