高等数学微积分第八章第2节.ppt

2 重积分在直角坐标系下的表示和计算,1。二重积分的几何意义,2。直角坐标系下的积分微元,3。积分区域的不等式表示,4。化二重积分为二次积分,1。投影法,2。截面法,1。二重积分的几何意义,1 曲顶柱体的体积,曲顶柱体:,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,求法如下：,先分割曲顶柱体的底，,再取典型小区域，,得到曲顶柱体的体积：,1。二重积分的几何意义,2。直角坐标系下的积分微元,我们利用直角坐标网分割D,让分割充分细，取D的被坐标网割出的一个典型子区域，设它是如图的矩形，其面积为,因此，二重积分的面积微元d自然地可记成,此时有,2。直角坐标系下的积分微元,3。积分区域的不等式表示,x型域:(图见下页),若积分区域D由两条连续曲线y1=y1(x)和y2= y2(x)（axb）及两条直线x=a和x=b所界定。a，b为区域D到ox轴的投影，,任一条直线x=x0（ax0b）与曲线y1=y1(x)和y2= y2(x)都只交于一点，,则D可以用不等式表示为,x 型域,3。积分区域的不等式表示,y型域:(图见下页),若积分区域D由两条连续曲线X=x1(y)和X= x2(y)（cyd）及两条直线y=c和y=d所界定。c，d为区域D到oy轴的投影，,任一条直线y=y0（cy0d）与曲线x=x1(y)和x= x2(y)都只交于一点，,则D可以用不等式表示为：,3。积分区域的不等式表示,y型域,3。积分区域的不等式表示,例1.积分区域D为直线y=2x和抛物线y=x2所围，写出区域D的不等式表示。,3。积分区域的不等式表示,解,3。积分区域的不等式表示,对于不是x型域和y型域的闭区域D，一般可以利用与坐标轴平行的直线将其分割成若干个x型域或y型域。,3。积分区域的不等式表示,4。化二重积分为二次积分,假定 是 型域,它的不等式表示为,在区间 任取一点x，过 作平行 于 面的平面，所截为一曲边梯形，,截面面积,故曲顶柱体体积,则,4。化二重积分为二次积分,若区域 为 型域,则,4。化二重积分为二次积分,例 2.计算积分 ,其中 是由 直线 和抛物线 所围区域 .,解,(2) 将区域D表示成不等式形式:,4。化二重积分为二次积分,4。化二重积分为二次积分,又解,区域 也可表示为,4。化二重积分为二次积分,例 3. 计算 ,其中 是由直线 和抛物线 所围成的闭区域。,解法1 （先对x在对y积分）,交点为,如图，先把 分割成两部分 和,4。化二重积分为二次积分,两曲线,4。化二重积分为二次积分,4。化二重积分为二次积分,故,如图，,4。化二重积分为二次积分,解,积分区域如图,例 5 . 交换二次积分 的积 分次序,并计算此积分。,解 积分区域为：,所以,如图，D也可表示为：,4。化二重积分为二次积分,4。化二重积分为二次积分,求证：,（1）若 关于 是奇函数，则,（2）若 关于 是偶函数，则,4。化二重积分为二次积分,例 8 . 设 是关于 轴对称的区域， 是 在右半平面的部分，,4。化二重积分为二次积分,二三重积分在直角坐标系下的表示和计算,利用平行与各坐标面的平面组成坐标网：,设在ox轴oy轴，oz轴的长度 ，微元分别为,dx, dy, dz, 因此类似二重积分的讨论,可知三重积分的体积微元可记成,这时三重积分写成,设积分区域,在xoy平面的投影,为平面区域,二三重积分在直角坐标系下的表示和计算,以 的边界为准线，母线平行于oz轴的柱面,分成上侧边界曲面 和下侧边界曲面 ；设,它们的方程分别为：,且,二三重积分在直角坐标系下的表示和计算,设 和 都是 在 的单值,函数。过 内任一点 作平行于z轴的直线,区域 表示为：,二三重积分在直角坐标系下的表示和计算,故三重积分可写成：,二三重积分在直角坐标系下的表示和计算,表示柱体位于 内以dxdy为底小柱体的质量。,由质量分布模型来理解上式，设 被 直角坐标网分割，取,二三重积分在直角坐标系下的表示和计算,因 在xoy平面的投影区域为 。故,表示分布在立体 的质量。,故如下三重积分的等式成立,二三重积分在直角坐标系下的表示和计算,如果 在xoy平面的投影区域 是x型区域,则表示为：,则 表示为：,1。 投影法,则由上述知：,1。 投影法,若 是 y型域 ，则表示为：,则：,1。 投影法,1. 投影法,1。 投影法,在xoy平面的投影 如图 ，表示为：,与xoy 平面的交线为：,1。 投影法,1.投影法,由对称性知，所求体积是 体积的8倍,其中 为第一卦限部分的立体的体积。,1. 投影法,故 表示为：,1. 投影法,因此，,1. 投影法,2截面法：,垂直于oz轴的平面截 得到截面记为 ，这时,这时 可表示为：,相应的有：,二三重积分在直角坐标系下的表示和计算,较容易算出(常见为圆或椭圆)，则用截面法。,如果截面 的表示比较简单且,相应截面法的计算公