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7.6 二重积分,二重积分的概念,二重积分的性质,二重积分的计算,小结,思考与练习,在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性,质推广到二元函数的定积分，即二重积分，为引出二重积,分的概念，我们先来讨论两个实际问题。,1.曲顶柱体的体积,体积公式来计算，但可采用这样的思想方法,二重积分的概念,（1）分割,（2）近似,即,(3)求和,就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值，,即,（4）取极限,即,2.平面薄板的质量,上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。,在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的 和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下 述二重积分的定义。,定义,如果当个小闭区域的直径中的最大值,趋于零时，,最后附带指出，在二重积分的定义,边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭 区域。任取一小区域,也就是说，在直角坐标系下，有,二重积分与一元函数定积分有类似的性质。下面所涉及,性质1,被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，,即,性质2,函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重,二重积分的性质,性质3,此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。,性质4,此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在 数值上就等于柱体的底面积。,性质5,特殊地，由于,又有不等式,性质6,性质7（二重积分的中值定理）,使得下式成立,按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的,被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区 域来说，这不是一种切实可行的方法。,1.在直角坐标系下二重积分的计算,二重积分的计算,其截面是一个曲边梯形，这个曲边梯形的“曲边”是曲线,由于整个曲顶柱体的体积为,由此，可得,或者写成,定理7.9,记作,因此，等式7.6也写成,定理7.10 设区域D为,记作,上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们,二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而,积分限是根据积分区域D的类型来确定的。,对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，,为了计算简便，需要选择恰当的二次积分次序。这时，既要 考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数,下面举例说明如何利用公式(7.6)计算二重积分。,例1,解,（2）定限,（3）计算,例2,解,（3）计算,2.在极坐标系下二重积分的计算,按二重积分的定义有,下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式.,曲线相交不多于两点,我们用以极点为中心的一族同心圆:,于是,即,由于在直角坐标系中,也常记作,所以,上式又可写成,这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换,公式（7.8）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变,变换为极坐标，只要把被积函数中的,接下来的问题，仍然是要将它化成二次积分来计算。为,二重
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