专题函数与导数(理.ppt

理 数,第2专题 函数与导数,回归课本与创新设计,高考命题趋势,重点知识回顾,主要题型剖析,专题训练,试题备选,一、函数概念及其表示,1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),xA.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域;常用的函数表示 方法有:解析法、列表法、图象法.,3.分段函数:若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子 区间的解析式不同,这种函数就称为分段函数.,1.单调性:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区 间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2), 那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数).,2.奇偶性:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f (x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数.,3.最值:,最大值:设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任,二、函数的性质,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0)= M.那么,称M是函数y =f(x)的最大值.,最小值:设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任 意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0)= M.那么,称M是函数y =f(x)的最小值.,4.周期性:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,T为一个周期.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,1.指数幂的运算性质:aras=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr.,2.对数的运算性质:如果a0,a1,M0,N0,则,loga(MN)=logaM+logaN,loga =logaM-logaN,logaMn=nlogaM(nR);,换底公式:logaN= (a0,a1,N0,m0,m1).,三、指数、对数及运算,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,四、指数函数与对数函数,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,五、函数与方程,1.函数零点:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;,2.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不 断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间a,b内有零 点.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,1.常见函数的导数公式:C=0(C为常数),(xn)=nxn-1,(sin x)=cos x,(cosx)=-sin x,(ex)=ex,(ax)=axln a,(ln x)= ,(logax)= .,2.两个函数的和、差、积、商的求导法则:f(x)g(x)=f(x)g(x),f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x), = 且g(x)0.,3.复合函数求导:f(g(x)=f(g(x)g(x).,六、导数及运算性质,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,处的切线的斜率.,2.设函数y=f(x)在某个区间可导,如果f(x)0,则f(x)在该区间上为增 函数;如果f(x)0,则f(x)在该区间上为减函数.,3.曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧的为负;曲线在极小 值点左侧切线的斜率为负,右侧的为正.,4.在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.,先求函数f(x)在(a,b)内的极值,再将函数f(x)的各极值与f(a)和f(b)比 较,其中最大的是最大值,最小的是最小值.,七、导数应用,1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0),重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,八、定积分,1.定积分的性质,kf(x)dx=k f(x)dx(k为常数);,f(x)g(x)dx= f(x)dx g(x)dx;,f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(其中acb).,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a)(其中F(x)=f(x).,2.微积分基本定理,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)f2(x)0),及直线x=a,x=b(ab) 围成的图形的面积(如图)S= f1(x)dx- f2(x)dx.,3.由三条直线x=a,x=b(ab),x轴及一条曲线y=f(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积S= f(x)dx;,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,近几年高考对函数与导数这部分的考查,既可以是选择、填空这 样的客观题,也可以是解答题,通常在客观题中考查函数的概念、性质以及导数的几何意义等基础知识,而在解答题中通常综合考 查函数的性质、导数在研究函数中的应用,有时会与不等式等综 合考查.预测2012年关于函数与导数的命题趋势,仍然是难易结合, 既有基础题也有综合题.基础题以考查基本概念与运算为主,主要,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,考查函数性质及图象,同时考查导数的基础知识,知识载体主要是 三次函数、指数函数、对数函数及分式函数.综合题主要题型:(1) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题;(2)考查以函数为 载体的实际应用题;(3)函数、导数与不等式等综合题.涉及到的主 要思想方法有:数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,函数的性质如单调性、奇偶性、周期性等是函数的核心所在,也 是高考必考内容.高考试题主要考查三类性质的判定及其应用.在 具体问题中要加强三类性质的整合,充分挖掘有效信息,如图象、 过定点、最值、渐近线等,切实提高分析问题与解决问题的能力.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,例1 (1)定义在R上的函数f(x)满足:对于任意,R,总有f(+)-f()+f ()=2011,则下列说法正确的是 ( ),(A)f(x)-1是奇函数. (B)f(x)+1是奇函数.,(C)f(x)-2011是奇函数. (D)f(x)+2011是奇函数.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)已知x0是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,+),则( ),(A)f(x1)0.,(C)f(x1)0, f(x2)0, f(x2)0.,【分析】(1)紧紧抓住奇函数的概念和性质:对于任意的xR,有f(-x)=-f(x), f(0)=0.(2)本题关键是把 转化成 ,从而看出了它在(1,+)上是单调 递增函数.,【解析】(1)依题意,取=0,得f(0)=-2011;取=x,=-x,得f(0)-f(x)-f(-x)=201 1,f(-x)+2011=-f(x)-f(0)=-f(x)+2011,因此函数f(x)+2011是奇函数,选D.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)由于函数g(x)= =- 在(1,+)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+ )上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+)上单调递增,所以函 数f(x)在(1,+)上只有唯一的零点x0,且在(1,x0)上f(x)0,故选B.,【答案】(1)D (2)B,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,同类拓展1 (1)设f(x)是偶函数且其图象是连续的,当x0时是单调 函数,则满足f(x)=f( )的所有x之和为 ( ),(A)-3. (B)3. (C)-8. (D)8.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x0,2时,f(x)=x2-2x,则当x -4,-2时,f(x)的最小值是 ( ),(A)- . (B)- . (C) . (D)-1.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【答案】(1)C (2)A,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,函数与方程思想是重要的一种数学思想,高考中所占比重较大,综合知识 多、题型多、应用技巧多.在小题中既有利用函数处理方程问题也有通 过方程处理函数问题.函数的图象是函数的一种重要表示方法,也是高考 的热点之一.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,例2 (1)函数f(x)= 的零点个数为 ( ),(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为 ( ),(A)2- ,2+ . (B)(2- ,2+ ).,(C)1,3. (D)(1,3).,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(3)已知方程|2x-1|-|2x+1|=a+1有实数解,则a的取值范围为 .,【分析】(1)分别考虑函数在相应范围内的零点个数,其中f(x)=ln x-x2+2x (x0)的零点个数可转化为两个函数y=ln x与y=x2-2x(x0)的交点个数,借助 于图形可得.(2)分别计算出两个函数的值域,只要g(b)的取值落在函数f(x) 的值域内即可.(3)要使方程有实数解,只要a+1的取值落在函数y=|2x-1|-|2x+ 1|的值域内即可.,【解析】(1)在同一坐标系中作出函数y=ln x与y=x2-2x(x0)的图象如图,可 知f(x)在x0时有两个零点;x0时,由2x+1=0得x=- .所以选D.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【答案】(1)D (2)B (3),(1)方程与函数问题是相互转化的,如函数零点个数(或取值 范围)问题可转化为方程解的个数(或取值范围)也可转化为两个函数图 象的交点个数(或交点横坐标的取值范围)问题.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,同类拓展2 (1)已知函数f(x)=( )x-log2x,实数a、b、c满足f(a)f(b)f(c)0 (0abc),若实数x0是方程f(x)=0的一个解,那么下列不等式中,不可能成 立的是 ( ),(A)x0b.,(C)x0c.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)已知函数f(x)= ,则函数y=f(1-x)的大致图象是 ( ),重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(3)已知函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且x-1,1时,f(x)=x2,则方程f(x)=log3|x |的解的个数为 .,【解析】(1)如图所示,方程f(x)=0的解即为函数y=( )x与y=log2x的图象交 点的横坐标x0.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【答案】(1)D (2)C (3)4,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,导数的概念及其运算是导数应用的基础,也是高考重点考查的对象,小题 侧重考查导数本身基础知识、导数的几何意义或利用导数确定函数的 单调性、极值和最值.定积分部分考查基础题,可以考查定积分的计算或 利用定积分求面积.常以选择题、填空题形式考查.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,例3 (1)设函数f =x2+ln x,若曲线y=f 在点 处的切线方程为y=ax+b,则a= ,b= .,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)由直线x= ,x=2,曲线y= 及x轴所围图形的面积是 ( ),(A) . (B) . (C) ln 2. (D)2ln 2.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(3)曲线y= x3+x在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .,【分析】(1)利用导数公式求出函数的导数,利用导数的几何意义得切线 斜率,进而求出相关值.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)画出图形,利用定积分计算出其面积.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(3)由切点在曲线上以及导数的几何意义列方程组求解;利用导数公式求 出函数导数,利用导数的几何意义得切线斜率,写出切线方程,再利用面积 计算公式列式求解.,【解析】(1)由题知, f =12+ln 1=1,又因为切点在切线上,于是有a+b=1.因 为f =2x+ ,所以a=f =3,所以b=-2.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)画出图形,可知所围图形的面积为,S= dx=ln 2-ln =2ln 2.,(3)y=x2+1,切线方程为y- =2(x-1),切线与两坐标轴的交点分别为( , 0),(0,- ),所以围成的三角形的面积为 = .,【答案】(1)3 -2 (2)D (3),(1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0), 曲线在某点处的切线问题常用到:切点在曲线上、切点在切线上以及曲线在该点处的切线斜率为函数在该点处的导数值.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,同类拓展3 (1)已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x) 的极大值、极小值分别为 ( ),(A) ,0. (B)0, .,(C)- ,0. (D)0,- .,(2)求曲线段的封闭图形的面积常用定积分来求.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)已知曲线y=x2和曲线y= 围成一个叶形图(如图中阴影部分),则 其面积是 ( ),(A)1. (B) .,(C) . (D) .,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(3)不等式ex-xax的解集为P,且0,2P,则实数a的取值范围是 ( ),(A)(-,e-1). (B)(e-1,+).,(C)(-,e+1). (D)(e+1,+).,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【答案】(1)A (2)D (3)A,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,二次函数是中学数学重要的函数模型之一,与一元二次方程、一元二次 不等式具有密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的 工具.高考中有很多数学试题与三个“二次”有关,既有选择题、填空题, 也有解答题,常涉及函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化思 想.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,例4 定义已知函数f(x)在m,n(mn)上的最小值为t,若tm恒成立,则 称函数f(x)在m,n(mn)上具有“DK”性质.,(1)判断函数f(x)=x2-2x+2在1,2上是否具有“DK”性质?说明理由;,(2)若f(x)=x2-ax+2在a,a+1上具有“DK”性质,求a的取值范围.,【分析】(1)理解新定义,求f(x)在1,2上的最小值,与1比较得出结论.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)讨论f(x)在a,a+1上的最小值f(x)min,再由f(x)mina恒成立求解.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,高考命题中常以二次函数、方程为核心设计试题,主 动建构函数关系、方程是解决问题的常见突破口.一般要抓住对 称轴和开口方向,给定的区间和对称轴的位置关系展开讨论.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(1)当a=1时,求所有使f(x)=x成立的x的值;,同类拓展4 已知a0,函数f(x)=x|x-a|+1(xR).,(2)当a(0,3)时,求函数y=f(x)在闭区间1,2上的最小值.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,利用导数研究可导函数的性质是高考的重点及热点,尤其是利用 导数解决函数的单调性和极值,通过研究导函数值的符号特征(正 或负)来研究单调性,从而研究并求出极值.利用导数研究函数的性 质时,常要用好原函数和导函数的图象,同时要注意这两个函数在 图象上的联系和研究侧重点的差异.高考对这部分的考查常是解 答题,常见题型有:(1)根据函数解析式,求函数的单调区间或极值 (最值);(2)根据函数的单调性或极值求解参数问题;(3)求解与函数 单调性、极(最)值相关的其它问题,如函数图象的零点、不等式恒 成立等问题.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(1)若f(x)在( ,+)上存在单调递增区间,求a的取值范围;,例5 (2011年江西)设f(x)=- x3+ x2+2ax.,(2)当0a2时,f(x)在1,4上的最小值为- ,求f(x)在该区间上的最大值.,【分析】(1)f(x)的解析式为二次函数式,故可利用配方法并借助二次函 数的单调性求a的取值范围;(2)先利用导数研究函数f(x)的单调性,再进一 步研究其最值.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,已知函数单调性求参数取值范围时,容易忽略f(x)=0 这一特殊情况,从而造成漏解,需记住:f(x)在区间I上为增函数f(x) 0在区间I上恒成立,f(x)在区间I上为减函数f(x)0在区间I上 恒成立.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,同类拓展5 已知函数f(x)= 的图象过点(-1,2),且在x= 处取得极值.,(1)求实数b,c的值;,(2)求f(x)在-1,e(e为自然对数的底数)上的最大值.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,由f(x)=-x(3x-2)=0得:x=0或x= ,f(-1)=2,f( )= ,f(0)=0,f(1)=0,f(x)在-1,1)上的最大值为2.,当1xe时,f(x)=aln x,当a0时,f(x)0;当a0时,f(x)在1,e上单调递增,f(x)在1,e上的最大值为a.,综上:当a2时,f(x)在-1,e上的最大值为a;当a2时,f(x)在-1,e上的最大值为2.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,函数的实际应用几乎每年的高考都有所涉及,主要体现在结合实 际问题得到相关的函数模型,然后利用函数的性质求解.一般与最 优化问题相联系,主要考查函数的单调性、最值、导数等知识.通 常是解答题,属中档题.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,例6 某广场一雕塑造型结构如图所示,最上层是一呈水平状态的圆 环,其半径为2 m,通过金属杆BC,CA1,CA2,CA3支撑在地面B处(BC垂直于水 平面),A1,A2,A3是圆环上的三等分点,圆环所在的水平面距地面10 m,设金 属杆CA1,CA2,CA3所在直线与圆环所在水平面所成的角都为.(圆环及金 属杆均不计粗细),重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)为美观与安全,在圆环上设置A1,A2,An 个等分点,并仍按上面方 法连接,若还要求金属杆BC,CA1,CA2,CAn的总长最短,对比(1)中C点位 置,此时C点将会上移还是下移,请说明理由.,【分析】(1)依题意可以将各金属杆的长度用的三角函数表示出来,进而 表示出总长,利用导数法求总长的最小值;(2)将总长表示为的三角函数, 利用导数法求出何时取最小值并与(1)比较即得.,(1)当的正弦值为多少时,金属杆BC,CA1,CA2,CA3的总长最短?,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,解决函数实际应用问题的关键有两点:一是认真审 题,明确问题的实际背景,然后进行科学的抽像、概括,将实际问题归纳为相应的数学问题;二是正确建立相应的函数模型,最终求解 数学问题使实际问题获解.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,同类拓展6 (2011年江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边 长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三 角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个 正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的 两个端点,设AE=FB=x cm.,(1)某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)某广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包 装盒的高与底面边长的比值.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,导数是研究函数的重要工具,由于函数与方程、不等式的紧密联 系,高考常考查利用导数来研究方程、不等式的综合题,题型为解 答题,通常属中档题或难题.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,例7 (2011年辽宁)已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x.,(1)讨论f(x)的单调性;,(2)设a0,证明:当0f( -x);,(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证 明:f(x0)0.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【分析】先求函数f(x)的定义域,(1)求导,通过讨论a的范围,从而确定函数 的单调性;(2)构造函数g(x)=f( +x)-f( -x),利用导数法判断函数g(x)的单调 性即可.(3)借助图象及(1)、(2)结果可求证.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,导数法是求解函数性质常用的方法,要能够熟练地掌 握应用导数法求解函数的单调性、最值、极值等问题常用的步骤和方法,具体问题也要能够将所求问题转化为相应的熟悉问题.利用导数法证明不等式问题,常常是通过构造新函数,通过证明新函数的单调性而实现问题的证明.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,同类拓展7 设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).,(1)若在定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m0能成立,求实数m的最 小值;,(2)已知函数g(x)=f(x)-x2-x-a,若方程g(x)=0在区间0,2上恰有两个不同的 实根,求实数a的取值范围.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,数列是特殊的函数,不等式与函数紧密相联,高考经常将函数、导 数、数列及不等式相结合,一般难度较大,常作为压轴题.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,例8 已知函数f(x)= (a,b,c为常数,a0).,(1)若c=0时,数列an满足条件:点(n,an)在函数f(x)= 的图象上, 求an的前n项和Sn;,(2)在(1)的条件下,若a3=7,S4=24,p,qN*(pq),证明:Sp+q (S2p+S2q);,(3)若c=1时,f(x)是奇函数,f(1)=1,数列xn满足x1= ,xn+1=f(xn),求证: + + .,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【分析】(1)由点(n,an)在函数图象上可得数列的通项公式,由通项特征可 求出Sn;(2)将第3项与前4项和写出,求出参数值,写出Sn,再利用作差比较法 证明不等式;(3)由函数的有关性质求出a、b值,由数列的相邻两项关系结 合所要证的不等式进行转化,进而证明.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(1)对于数列求和,若是等差(比)数列直接用公式,非特 殊数列转化为等差(比)数列的求和;(2)对于等差(比)数列,一般是将 有关项与和转化为用首项、公差(比)来表示,通过解方程求出首项 、公差(比);(3)复杂不等式的证明往往涉及多种转化手段,要灵活 针对不等式的特征使用相应解决方法.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,同类拓展8 已知函数f(x)=ax2+bx(a0)的导函数f(x)=-2x+7,数列an 的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上.,(1)求数列an的通项公式及Sn的最大值;,(2)令bn= ,其中nN+,求nbn的前n项和Tn.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,回归课本,(2011年湖南)由直线x=- ,x= ,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面 积为 ( ),(A) . (B)1. (C) . (D) .,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【答案】D,课本试题对比:,北师大版选修2-2 P84“例3 求定积分 ,并解释其意义”可以看出 这两题几乎一样,尽管题目很简单,但高考命题还是会从课本中取材,注重 双基,也是高考命题的一个原则,希望能引起师生的注意.创新设计,【解析】由定积分知识可得S= cos xdx=sin x = -(- )= .,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,1.设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意xM(MD), 有x+lD,且f(x+l)f(x),则称函数f(x)为M上的l高调函数.现给出下列命 题:,函数f(x)=( )x是R上的1高调函数;函数f(x)=sin 2x为R上的高调函数; 如果定义域为-1,+)的函数f(x)=x2为-1,+)上的m高调函数,那么实 数m的取值范围是2,+).,其中正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号),重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【答案】,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,2.已知在函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1, n)为切点的切线的倾斜角为 .,(1)求m,n的值;,(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)k-1997对于x-1,3 恒成立,如果存在,请求出最小的正整数k,如果不存在,请说明理由;,(3)求证:|f(sin x)+f(cos x)|2f(t+ )(xR,t0).,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,一、选择题,1.函数y= 的值域为 ( ),(A)(-,1). (B)( ,1).,(C) ,1). (D)( ,+).,【解析】x2+11,0 1,故 y1.,【答案】C,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,2.设A、B是非空集合,定义:AB= ,已知A=x|y=lg(2x-x2),B=y|y=3x,x0,则AB等于 ( ),(A)0,1(2,+). (B)(0,12,+).,(C)(0,1. (D)0,2 .,【解析】A=x|01,所以AB=x|0x1或x2.,【答案】B,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,3.在平面直角坐标系中,函数f(x)=2x+1与g(x)=21-x图象关于 ( ),(A)原点对称. (B)x轴对称.,(C)y轴对称. (D)直线y=x对称.,【答案】C,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,4.设函数f(x)=sin(x+ )-1(0)的导数f(x)的最大值为3,则f(x)的图象的一 条对称轴的方程是 ( ),(A)x= . (B)x= .,(C)x= . (D)x= .,【答案】A,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,5.由曲线y=x2和直线y=2x+3所围成的平面图形的面积为 ( ),(A) . (B) . (C)9. (D) .,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【答案】D,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,6.设函数f(x)=x(ex+ae-x)是偶函数,其中xR,则实数a的值为 ( ),(A)0. (B)1. (C)-1. (D)2.,【答案】C,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,7.(2011年陕西)函数f(x)= -cos x在0,+)内 ( ),(A)没有零点. (B)有且仅有一个零点.,(C)有且仅有两个零点. (D)有无穷多个零点.,【解析】函数y= 的图象过定点(1,1)且上升,数形结合知y= 与y=cos x 的图象在0,+)内有且仅有一个交点.,【答案】B,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,8.当x0,2时,函数f(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取得最大值,则a的取值范围 是 ( ),(A)- ,+). (B)0,+).,(C)1,+). (D) ,+).,【解析】当a=0时,f(x)=-4x-3在0,2上为减函数,不合题意;当a0时,此时f (x)为二次函数,其对称轴为x= -2,由题意知: 或 ,解得a .也可取特值0与 验证.,【答案】D,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,9.设f(n)=log(n+1)(n+2)(nN+),现把满足乘积f(1)f(2)f(n)为整数的n叫做 “贺数”,则在区间(1,2012)内所有“贺数”的个数是 ( ),(A)7. (B)8. (C)9. (D)10.,【答案】C,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,10.下列图象中,有一个是函数f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(aR,a0)的导函数 y=f(x)的图象,则f(-1)等于 ( ),(A) . (B)- . (C) . (D)- .,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【答案】B,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,11.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4),当x2时,f(x)单调递增,如果x1+x2 4,且(x1-2)(x2-2)0,则f(x1)+f(x2)的值 ( ),(A)恒小于0. (B)恒大于0.,(C)可能为0. (D)可正可负.,【解析】因为(x1-2)(x2-2)2时,f (x)单调递增且f(-x)=-f(x+4),所以有f(x2)f(4-x1)=-f(x1),f(x1)+f(x2)0;若x2x1, 同理有f(x1)+f(x2)0,故选A.,【答案】A,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,12.设函数f(x)=|x|x+bx+c,则下列命题中正确命题的序号有 ( ),当b0时,函数f(x)在R上是单调增函数;当b0时,函数f(x)在R上有最 小值;函数f(x)的图象关于点(0,c)对称; 方程f(x)=0可能有三个实数根.,(A). (B).,(C). (D).,【解析】f(x)=|x|x+bx+c= ,当b0时,函数f(x)在(-,0及0,+ )上都是单调增函数且图象是连续的,所以在R上是单调增函数,正确; 大致画出函数图象或证明可知正确;如函数f(x)=|x|x-2x-3没有最小值, 错误;如f(x)=|x|x-4x-2时,方程f(x)=0有三个实数根,正确.所以正确的是.选D.,【答案】D,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,13.(2011年江苏)已知实数a0,函数f(x)= ,若f(1-a)=f(1+a),则a 的值为 .,【答案】-,【解析】a0时,2(1-a)+a=-(1+a)-2a,a=- ,不符合;a0时, -(1-a)-2a=2(1+a)+ a,a=- .,二、填空题,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,14.已知函数f(x)=1- (xR)的最大值为M,最小值为m,则M+m= .,【答案】2,【解析】令g(x)=- (xR),显然它是一个奇函数,所以g(x)的最大值与 最小值之和等于0,而f(x)的最大值等于g(x)的最大值加上1,f(x)的最小值等 于g(x)的最小值加上1,所以f(x)的最大值与最小值之和等于2,即M+m=2.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,15.若f(x)是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有f(x+4)f(x)+4 和f(x+2) f(x)+2且f(0)=1,则f(2012)= .,【答案】2013,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,16.已知函数f(x)=ln x+2x,g(x)=a(x2+x),若f(x)g(x)恒成立,则实数a的取值 范围是 .,【答案】1,+),重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,17.已知函数f(x)= ,x2,+),三、解答题,(1)当a= 时,求函数f(x)的最小值;,(2)若对任意x2,+),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,18.某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输 油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油 站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个 增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的 输油管道费用为x3+x万元.设余下工程的总费用为y万元.,(1)试将y表示成关于x的函数;,(2)需要修建多少个增压站才能使y最小?,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,19.设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2,已知x=-2和x=1为f(x)的两个极值点.,(1)求a和b的值;,(2)讨论f(x)的单调性;,(3)设g(x)= x3-x2,试比较f(x)与g(x)的大小.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势