世纪金榜高中全程复习方略详细答案.ppt

第六节 椭圆,三年26考 高考指数: 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质； 2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用； 3.理解数形结合的思想.,1.椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点； 2.椭圆的定义、标准方程、几何性质常常独立考查；直线与椭圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题； 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有可能出现.,1.椭圆的定义 （1）满足条件： 在平面内 与两个定点F1、F2的距离之_等于常数 常数大于_ （2）焦点：两定点. （3）焦距：两_间的距离.,和,|F1F2|,焦点,【即时应用】判断下列点的轨迹是否为椭圆（请在括号内填“是”或“否”） （1）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于2的点的轨迹 ( ) （2）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于4的点的轨迹 ( ) （3）平面内到点A（0，2），B（0，-2）距离之和等于6的点的轨迹 ( ),【解析】由椭圆的定义可知:（1）距离之和小于|AB|，所以点的轨迹不存在；（2）距离之和等于|AB|，点的轨迹是以A、B为端点的一条线段；（3）符合椭圆定义，点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆. 答案：（1）否 （2）否 （3）是,2.椭圆的标准方程和几何性质,标准方程,对称轴：坐标轴 对称中心：原点,长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b,图形,性质,范围,对称性,顶点,轴,图形,性质,焦距,离心率,a、b、c 的关系,【即时应用】（1）思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系? 提示：因为离心率e= = = ， 所以，离心率越接近于1，b就越接近于0，即短轴的长接近于0，椭圆就越扁；离心率越接近于0，a、b就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆.,（2）已知椭圆 + =1的焦点在y轴上，若椭圆的离心率为 ，则m的值为_. 【解析】 + =1的焦点在y轴上，所以a2=m, b2=2，离心率为e= = = ，又离心率为 ，所以 = ，解得m= . 答案：,（3）已知椭圆的短轴长为6，离心率为 ，则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为_. 【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 又因为离心率为 ，所以 = 又因为a2=b2+c2 解组成的方程组得：a=5,c=4. 所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1. 答案：9或1,椭圆的定义、标准方程 【方法点睛】 1.椭圆定义的应用 利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.,2.椭圆的标准方程 （1）当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为 + =1(ab0)；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为 + =1(ab0)； （2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为 + =1(m0,n0,mn)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(A0,B0,AB)这种形式,在解题时更简便.,【例1】（1）已知F1、F2为椭圆 + =1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=_； （2）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.,【解题指南】（1）注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论；（2）可先设椭圆的方程为 + =1或 + =1(ab0)，再根据题设条件求出相应的系数值即可.,【规范解答】（1）由椭圆的定义及椭圆的标准方程得： |AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10, 又已知|F2A|+|F2B|=12， 所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8. 答案：8,（2）设椭圆方程为 + =1或 + =1(ab0)，因为P到两焦点的距离分别为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以（2c)2=52-32=16，所以c2=4， 因此b2=a2-c2=12，所以椭圆方程为： + =1或 + =1.,【互动探究】本例（2）将条件“过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点”改为“点P和两焦点构成的三角形为直角三角形”,结果如何？,【解析】当其中一个焦点为直角顶点时，与例题条件相同，所以，椭圆方程为 + =1或 + =1； 当直角顶点为点P时，则有(2c)2=52+32=34， 所以c2= ，又因为a=4，所以b2=a2-c2= ， 所以椭圆方程为： + =1或 + =1； 综上可知：所求椭圆方程为： + =1或 + =1或 + =1或 + =1.,【反思感悟】1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解； 2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解； 当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有ab0.,【变式备选】已知F1、F2是椭圆C： + =1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且 .若PF1F2的面积为9， 则b=_. 【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 2r1r2=(r1+r2)2-(r21+r22) =4a2-4c2=4b2, = =b2=9,b=3. 答案：3,椭圆的几何性质及应用 【方法点睛】 1.椭圆几何性质中的不等关系 对于椭圆标准方程中x、y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系.,2.利用椭圆几何性质应注意的问题 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. 3.求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式（或不等式），利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围. 【提醒】椭圆离心率的范围:0e1.,【例2】（2011天津高考）在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)(ab0)为动点，F1,F2分别为椭圆 + =1的左,右焦点已知F1PF2为等腰三角形 （1）求椭圆的离心率e； （2）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF2上的点，满足 =-2，求点M的轨迹方程,【解题指南】 （1）可由F1PF2为等腰三角形，得出a、b、c之间的关系式，消去b，即得离心率的值； （2）可用直接法求出轨迹方程. 【规范解答】（1）设F1(-c,0),F2(c,0)(c0)， 由题意，可得|PF2|=|F1F2|, 即 =2c.整理得 2( )2+ -1=0，得 =-1（舍）， 或 = .所以 e= .,（2）由（1）知：a=2c,b= ，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2, 直线PF2方程为y= (x-c).A，B两点的坐标满足 方程组 消去y并整理，得5x2-8cx=0.解得x1=0,x2= c. 得方程组的解 , 不妨设 M(x,y)，令A( c, c),B(0, ),则 =（x- c,y- c), =(x,y+ c), 由y= (x-c),得c=x- y.于是 =（ - , - ), =(x, x).由 =-2，即 （ - ）x+（ - ) x=-2, 化简得18x2- -15=0. 将y= 代入c= ,得c= 0. 所以x0.因此，点M的轨迹方程是 18x2- -15=0(x0).,【反思感悟】1.依据题设条件求椭圆的离心率，其关键是依据题设条件寻找关于a、c的一个等式，解方程求出离心率的值；有些题目求离心率的范围，解题思路也是如此； 2.求轨迹方程的方法是最基本的方法，应用已知条件中的等式求方程，但要注意同解变形，注意变量的取值.,【变式训练】定义：离心率e= 的椭圆为“黄金椭圆”，已知E： + =1（ab0）的一个焦点为F(c,0)(c0)，则E为“黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的( ) (A)既不充分也不必要条件 (B)充分且必要条件 (C)充分不必要条件 (D)必要不充分条件,【解析】选B.若E为黄金椭圆，则e= = , b2=a2-c2=a2- = =ac 所以a,b,c成等比数列. 若a、b、c成等比数列，则b2=ac a2-c2=ace2+e-1=0，又0e1, 所以e= ，故E为黄金椭圆.,【变式备选】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆 E： + =1（ab0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB30，则椭圆E的离心率等于_.,【解析】依题设知：点C的坐标为( , )，又因为点C在椭 圆E上，所以有 + =1，解得a2=9b2， 因此，a2=9(a2-c2)，即 = ， 所以椭圆E的离心率等于 . 答案：,直线与椭圆的位置关系 【方法点睛】 1.直线与椭圆位置关系判断的步骤 第一步：联立直线方程与椭圆方程； 第二步：消元得出关于x（或y）的一元二次方程； 第三步：当0时，直线与椭圆相交；当=0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离.,2.直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B（x2，y2）,则 |AB|= = (k为直线斜率).,3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.,【例3】（2011北京高考）已知椭圆G: +y2=1.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点. （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.,【解题指南】 （1）根据标准方程可求出焦点坐标和离心率； （2）先讨论切线l斜率不存在时的两种情况，当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及弦长公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值. 【规范解答】（1）由已知得a=2,b=1，所以c= = ，所以椭圆G的焦点坐标为(- ,0),( ,0)，离心率为e= = .,（2）由题意知，|m|1. 当m=1时，切线l的方程为x=1，点A,B的坐标分别为(1, ),(1, ),此时|AB|= ； 当m=-1时，同理可得|AB|= ； 当|m|1时，设切线l的方程为y=k(x-m). 由 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 又由l与圆x2+y2=1相切， 得 =1，即m2k2=k2+1. 所以|AB|= = = = .,由于当m=1时，|AB|= ， |m|1时,|AB|= = 2， 当且仅当m= 时，|AB|=2. 所以|AB|的最大值为2.,【反思感悟】 1.通过本题的解答可知，已知椭圆的标准方程，可直接求出椭圆的焦点坐标、离心率，也可求出其顶点坐标、长轴长、短轴长等.求直线被椭圆截得的弦长的最值，关键是求出弦长的解析式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值； 2.在求切线方程时，要注意讨论直线的斜率存在与不存在两种情况.,【变式训练】（2012厦门模拟）如图， 已知椭圆 的离 心率为 直线L:x=my+1过椭圆C的右 焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A， F，B在直线G：x=a2上的射影依次为D， K，E. （1）求椭圆C的方程； （2）试探索当m变化时，直线AE是否经过一定点N？若是，求出N的坐标并给予证明；否则说明理由.,（3）设梯形ABED的面积为S1，AOB的面积为S2，求 的最小值. 【解析】（1）L：x=my+1与x轴的交点为（1，0），依题意可知c=1, 又 所以a=2,椭圆C的方程为,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由 得(3m2+4)y2+6my-9=0. 由对称性知，如果直线AE经过定点，则定点必在x轴上， F（1，0），K（4，0），,当m=0时，直线LOx轴，则ABED为矩形，AE与x轴的交点是AE的中点 猜想：当m变化时，AE经过定点 下证：设 三点共线， 显然成立，所以AE经过定点,所以当m=0时， 的最小值为6.,【满分指导】 直线与椭圆综合问题的规范解答 【典例】（14分）（2011江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆 + =1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.,（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d； （3）对任意k0，求证：PAPB.,【解题指南】（1）利用MN的中点在PA上即可求解； （2）先求点P的坐标，再求出AB的方程，就能求出距离d; （3）证明斜率之积为-1即可. 【规范解答】（1）由题意知，a=2,b= ，故M(-2,0),N(0, ). 所以线段MN的中点的坐标为(-1, )，由于直线PA平分线段 MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以 k= = 4分,（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得 + =1， 解得x= ，因此P( , ),A( , ), 于是C( ,0),直线AC的斜率为 =1， 所以直线AB的方程为x-y- =0，6分 因此d= = 9分,（3）方法一：将直线PA的方程y=kx代入 + =1， 解得x= ，记= ，10分 则P(,k),A(-,-k)，于是C(,0)，故直线AB的斜率为 = ，直线AB的方程为y= (x-)，代入椭圆方程得(2+k2)x2-2k2x-2（3k2+2）=0，解得x= ，或 x=-，12分,因此B（ ， ），于是直线PB的斜率为 k1= = ， 因此k1k=-1，所以PAPB14分,方法二：设P(x1,y1)，B(x2,y2),则x10,x20,x1x2， A(-x1,-y1),C(x1,0)10分