2018年电大工程数学复习资料.doc

工程数学网上教学活动文本2012.12.15问题1：现在是工程数学课程的教学时间，欢迎大家积极参与！今天活动的主题是：学期末复习考试指南。问题2. 考试方式：半开卷，笔试问题3. 考试题型：单选题：5题，每题3分，共15分。 填空题：5题，每题3分，共15分。 计算题：4题，每题16分，共64分。 证明题：1题，共6分。问题4. 谈一谈本课程的考核形式.答：本课程的考核形式分为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。形成性考核的内容及成绩的评定按中央广播电视大学人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册的规定执行。问题5. 期末考试命题的依据是什么？答：工程数学（本）课程期末考试命题的依据考核说明，试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。问题6. 期末考试的命题原则是什么？期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。问题7. 考核要求有哪些？考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。考核内容分为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。一、线性代数部分1. 行列式考核知识点：行列式的递归定义、行列式的性质、克莱姆法则考核要求：知道阶行列式的递归定义；掌握利用性质计算行列式的方法；知道克莱姆法则。2. 矩阵考核知识点： 矩阵的概念，零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上(下)三角矩阵，对称矩阵 矩阵的加法，数乘矩阵，矩阵的乘法，矩阵的转置 方阵乘积行列式定理 可逆矩阵与逆矩阵的定义、性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，初等矩阵，矩阵的初等行变换，逆矩阵的求法矩阵的秩的概念，矩阵的秩的求法 分块矩阵及其运算，准对角矩阵考核要求：理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上(下)三角矩阵、对称矩阵的定义，了解初等矩阵的定义；熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算；掌握方阵乘积行列式定理；理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件；熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法；理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法； 会分块矩阵的运算。3. 线性方程组考核知识点： 高斯消元法解线性方程组线性方程组的系数矩阵、增广矩阵线性方程组的相容性定理，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 维向量定义，线性组合、线性表出，向量组的线性相关性 极大线性无关组，向量组的秩 齐次线性方程组解的性质、基础解系，非齐次线性方程组解的性质及解的结构考核要求：掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性相关性；会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法；理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性；熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法；了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。4. 矩阵的特征值及二次型考核知识点： 矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，特征值与特征向量的求法矩阵相似的定义和性质正交矩阵的定义和性质 二次型定义，二次型的矩阵表示，二次型的标准形，用配方法化二次型为标准形 正定矩阵的概念，正定矩阵的判定考核要求：理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法；了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质；知道正交矩阵的定义和性质；理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形，掌握用配方法化二次型为标准形的方法；了解正定矩阵的概念，会判定矩阵的正定性。二、概率论与数理统计部分1. 随机事件与概率考核知识点： 随机事件的概念，随机事件的关系与运算 随机事件的概率，概率的基本性质，古典概型 概率的加法公式，条件概率与乘法公式，事件的独立性，全概公式 贝努里概型考核要求：了解随机事件、概率等概念；掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质；了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题；熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式；理解事件独立性概念；掌握贝努里概型。2. 随机变量的分布和数字特征考核知识点： 随机变量的概念及分类，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量的分布函数，随机变量函数的分布 数学期望、方差与标准差的概念，期望与方差的性质，随机变量函数的期望公式，矩的概念 两点分布、二项分布、泊松分布和它们的数字特征，均匀分布、指数分布、正态分布和它们的数字特征 二维随机变量的联合分布、边缘分布、独立性，二维随机变量的期望、方差与协方差的性质大数定律，中心极限定理考核要求：理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念；理解期望、方差与标准差等概念，掌握求期望、方差的方法；熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差；知道二维随机变量的概念，了解随机变量独立性概念；知道大数定律和中心极限定理。3. 数理统计基础考核知识点：总体与样本，样本函数与统计量，样本矩，抽样分布（分布，分布，分布） 点估计概念，期望与方差的点估计（矩法与最大似然法） 无偏性与有效性 置信区间与置信度，正态总体与的区间估计 假设检验的基本思想，两类错误，显著性水平 方差已知的均值检验的检验法，方差未知的均值检验的检验法，方差的假设检验的检验法一元线性回归的概念，最小二乘法，检验与预测考核要求：理解总体、样本、统计量的概念，知道分布，分布，分布，会查，分布表；会参数的矩估计法，掌握参数的最大似然估计法；了解估计量的无偏性、有效性的概念；了解区间估计的概念，熟练掌握求正态总体期望的置信区间的方法；知道假设检验的基本思想，熟练掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验；了解最小二乘法的基本思想，会求一元线性回归方程的方法和检验。问题8.试题的难易程度如何？试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2。问题9. 谈一谈试题的类型.试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题和证明题，求解解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15%，解答题70%（其中证明题6%）。期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。问题10. 单项选择题举例一、单项选择题设为阶矩阵，则下列等式成立的是（）(A) (B) (C) (D) （B）正确，将B填入题中括号内。（容易题）随机事件相互独立的充分必要条件是（）(A) (B) (C) (D) （A）正确，将A填入题中括号内。（中等题）问题11. 填空题举例二、填空题若向量组的一个部分组线性相关，则此向量组线性。在横线上填写答案“相关”。（容易题）若样本来自总体，则 。在横线上填写答案“”。（中等题）问题12.计算解答题举例三、解答题用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换。解： 令 （*）即得 由式解出，即得或写成（中等题）（证明题）证明：线性无关向量组的任何部分组也是线性无关的证明：设是一个线性无关的向量组，往证它的任何部分组也是线性无关的，不妨证明线性无关。反证，若线性相关，则存在一组不全为零的数，使得 此时有 由定义知线性相关，这与线性无关矛盾。故线性无关。证毕。（较难题）问题13. 样卷举例一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.设为阶矩阵，则下列等式成立的是（）(A) (B) (C) (D) 2.设是阶方阵，当条件（）成立时，元线性方程组有惟一解(A) (B) (C) (D) 3.设为随机事件，下列等式成立的是（）(A) (B) (C) (D) 4.随机事件互斥的充分必要条件是（）(A) (B) (C) (D) 5. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）(A) (B) (C) (D) 二、填空题（每小题3分，共15分）1.2.若是的特征值，则是方程 的根3.已知，则4.设连续型随机变量的密度函数是，则 5.统计量就是 的样本函数三、计算题（每小题16分，共64分）1设矩阵，求2.在线性方程组中取何值时，此方程组有解有解的情况下写出方程组的一般解3. 一袋中有9个球，其中6个黑球3个白球今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是白球的概率.4.设，试求；（已知）四、证明题（本题6分）设是可逆矩阵的特征值，且，试证：是矩阵的特征问题14. 综合练习题工程数学（本）综合练习 一、单项选择题1设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ) A B C D正确答案：A 2方程组相容的充分必要条件是( )，其中，A BC D 正确答案：B 3设矩阵的特征值为0，2，则3A的特征值为 ( ) A0，2 B0，6 C0，0 D2，6正确答案：B 4. 设A，B是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的A. ，其中A，B相互独立 B. ，其中 C. ，其中A，B互不相容D. ，其中正确答案：C 5若随机变量X与Y相互独立，则方差=（ ）A B C D 正确答案：D6设A是矩阵，是矩阵，且有意义，则是( )矩阵 A B C D正确答案：B 7若X1、X2是线性方程组AX=B的解，而是方程组AX = O的解，则（ ）是AX=B的解A B C D 正确答案：A 8设矩阵，则A的对应于特征值的一个特征向量=( ) A B C D 正确答案：C 9. 下列事件运算关系正确的是（ ）A B CD正确答案：A 10若随机变量，则随机变量（ ） A B C D正确答案：D 11设是来自正态总体的样本，则（ ）是的无偏估计A B C D正确答案：C 12对给定的正态总体的一个样本，未知，求的置信区间，选用的样本函数服从（ ）A分布 Bt分布 C指数分布 D正态分布正确答案：B二、填空题 1设，则的根是 应该填写： 2设向量可由向量组线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是 应该填写：线性无关 3若事件A，B满足，则 P（A - B）= 应该填写： 4设随机变量的概率密度函数为，则常数k =应该填写： 5若样本来自总体，且，则应该填写：6行列式的元素的代数余子式的值为= 应该填写-56 7设三阶矩阵的行列式，则=应该填写：2 8若向量组：，能构成R3一个基，则数k 应该填写：9设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量应该填写：3 10设互不相容，且，则 应该填写：0 11若随机变量X ，则 应该填写： 12设是未知参数的一个估计，且满足，则称为的 估计应该填写：无偏 三、计算题1设矩阵，求：（1）；（2）解：（1）因为 所以 （2）因为 所以 2求齐次线性方程组 的通解 解： A= 一般解为 ，其中x2，x4 是自由元 令x2 = 1，x4 = 0，得X1 =； x2 = 0，x4 = 3，得X2 =所以原方程组的一个基础解系为 X1，X2 原方程组的通解为： ，其中k1，k2 是任意常数 3设随机变量（1）求；（2）若，求k的值 （已知）解：（1）1= 11（）= 2（1）0.045 （2）11 即k4 = -1.5， k2.5 4某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）10.4，10.6，10.1，10.4问：该机工作是否正常(, )？解：零假设.由于已知，故选取样本函数 经计算得， 由已知条件，且 故接受零假设，即该机工作正常.5已知矩阵方程，其中，求解：因为，且 即 所以 6设向量组，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组 解：因为（ ）= 所以，r() = 3 它的一个极大线性无关组是 （或）7设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解解：因为 A = 时，所以方程组有非零解 方程组的一般解为： ，其中为自由元 令 =1得X1=，则方程组的基础解系为X1 通解为k1X1，其中k1为任意常数 8罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率 解：设=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则（1） （2） 9设随机变量X N（3，4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使P（X a）=0.9成立的常数a (，) 解：（1）P（1 X 7）= = 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386 （2）因为 P（X