线性代数与解析几何王新茂中国科学技术大学数学系.ppt

线性代数与解析几何 王新茂 中国科学技术大学数学系,预备知识 数域 定义了 +,-,*,/ 运算的集合 实数域R、有理数域Q 复数域C， 是数域 对素数 p 和模 p 的 +,-,*,/ 运算，0,1,p-1 也是数域,复数的几何 Euler 公式,连加、连乘,向量的概念 物理上的定义 具有大小和方向的量 数学上的定义 具有起点和终点的线段 两向量大小相同两线段长度相等 两向量方向相同两直线同向平行,平面直角坐标系 空间直角坐标系 点向量坐标,向量的内积 是关于 和 的对称双线性函数 向量在直线上的投影,向量的外积 是关于 和 的反对称双线性函数 向量在平面上的投影,平行四边形的面积 平行六面体的体积,直线与平面的方程 直线的参数方程（点向式） 平面的参数方程（网格） 平面的一般方程（点法式） 直线的一般方程（交线）,点、线、面间的位置关系 点到直线的距离 点到平面的距离 异面直线的距离 直线间的夹角 平面间的夹角 线面间的夹角 公垂线的计算,曲线与曲面的方程 参数方程 一般方程 球面 圆,柱面 准线沿母线平移 锥面 准线沿母线收缩 旋转面 子午线绕轴旋转,常见二次曲面 椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆抛物面 双曲抛物面,锥面 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面,线性方程组的消元解法 减少方程中未知数的个数,问题 以上所求是否一定是原方程的解？ 其它消元过程是否会产生新的解？ 方程组的同解变形（三种初等变换） 交换两个方程的位置； 一方程乘上非零常数； 一方程加上另一方程。,线性方程组的矩阵解法 将线性方程组的系数排成一个矩阵。,通过初等变换，化线性方程组为阶梯形 交换未知数次序，化线性方程组为对角形,一般线性方程组解的结构 当 dr+10 时，方程组无解 当 dr+1=0 且 r=n 时，方程组有唯一解 当 dr+1=0 且 rn 时，方程组有无穷多解 一般线性方程组的所有解 一般线性方程组的一个解 齐次线性方程组的所有解,mn 矩阵 是数和向量的推广 mn 个数或未定元 m 个行向量 n 个列向量,常见矩阵 方阵、实矩阵、复矩阵、 零矩阵、单位阵、数量阵 对角阵、上三角阵、下三角阵 对称阵、反对称阵,矩阵运算 加法 数乘 乘法 多项式 转置 共轭 迹,特殊矩阵的乘法,矩阵乘法的应用 线性方程组、多项式插值 直线方程 平面二次曲线方程 旋转变换 投影变换 反射变换 递推数列,分块矩阵 分块矩阵的加法、数乘、乘法、转置、共轭运算与一般矩阵的运算类似,向量组的行列式 平行多面体的有向体积 满足下列性质的向量函数 (1) (2) (3) (4),行列式的其他性质 (5) (6) (7) (8),排列 是 1,2,n 上的一一映射; 中的逆序的个数 称为逆序数; 的奇偶性, 称为 的奇偶性; 一次对换改变排列的奇偶性. 排列 可经 次对换变成标准排列.,方阵的行列式 设 则 定义为,行列式的性质(续) ( 9 ) (10) (11) Laplace 展开定理 (12) Binet-Cauchy公式,行列式的计算 初等变换 - 化一般方阵为三角方阵 展开定理 - 化高阶方阵为低阶方阵 乘积分解 - 化复杂方阵为简单方阵,伴随矩阵 逆矩阵 定义： 唯一性： 存在性：,逆矩阵的性质,逆矩阵的计算 求解线性方程组 初等行变换 伴随矩阵 乘积分解 分块矩阵求逆 特殊矩阵求逆,Cramer 法则,第j列,矩阵的秩 非零子式的最大阶数 若秩等于行数，矩阵称为行满秩 若秩等于列数，矩阵称为列满秩 矩阵秩的性质,矩阵A和B相抵 存在可逆矩阵P和Q，使B=PAQ,相抵标准形 线性方程组解的结构 方程 有解 通解 特解 基础解系 方程 解的自由度,线性空间 定义了加法和数乘运算的非空集合 加法满足： 数乘满足：,称为 的线性组合。 若方程 有非零解， 则称 线性相关。 若 是 的子集，且 在 的加法、数乘运算下封闭，则 称为 的子空间。 包含向量组 的最小的的子空间称为由 生成的子空间。,定理： 生成的子空间 的所有线性组合。 基、维数、坐标 基线性无关的生成元 基数目最少的生成元 维数基中向量的个数 若 ，则 称为 的坐标,设 是线性空间的两组基 向量 在基 下的坐标 在基 下的坐标 基变换 过渡矩阵 坐标变换,子空间的交、和、直和 是子空间 是子空间 当 时， 记作 维数定理,线性映射 满足 其中 是相同数域上的线性空间 同构 一一的线性映射 称为同构映射。,线性映射 的矩阵表示 设 是 的基， 是 的基,线性变换 线性变换的矩阵表示 线性变换的运算 加法 数乘 复合,线性变换在不同基下的矩阵表示 设 是两组基 则有 矩阵A与B相似 存在可逆矩阵P，使B=P-1AP,相似的性质 A与B相似，B与C相似 A与C相似 问题：相似的标准形是什么？,特征值、特征向量 特征多项式,特征值、特征向量、特征多项式的性质 奇数阶实方阵一定有实特征值 对称实方阵的特征值都是实数 属于不同特征值的特征向量线性无关,相似标准形 任意复方阵复相似于上三角阵 特征值 Cayley-Hamilton定理,相似于对角阵 有n个线性无关特征向量 特征值互不相同相似于对角阵 有m个不同特征值相似于准对角阵 Jordan标准形,欧氏空间 定义了内积的实线性空间 例：在 上定义 向量内积 向量长度 向量夹角,内积 是一个实值函数，满足 对称性 线性性 定正性 通过内积可定义 向量长度 勾股定理,向量投影 Cauchy-Schwarz不等式 三角不等式 向量夹角 余弦定理,内积的矩阵表示 G称为Gram矩阵或度量矩阵。 不同基下的度量矩阵 称为 与 相合。,矩阵A与B相合 存在可逆矩阵P，使BPTAP 标准正交基 两两垂直、长度为 度量矩阵为单位阵 正交阵 的标准正交基组成的方阵 满足PTPI的实方阵P,向量组的标准正交化 Gram-Schmidt 正交化 通过相合变换将度量矩阵化为单位阵 通过正交变换将矩阵化为上三角,正交变换 保持长度不变的线性变换 保持内积不变的线性变换 将标准正交基映射到标准正交基 标准正交基下的矩阵表示为正交阵 常见正交变换 旋转、反射（关于直线、平面的对称点）,正交阵的性质 正交阵的乘积、逆矩阵、转置都是正交阵 行列式1，特征值 |1 阶正交阵的形式 阶正交阵的形式 是正交阵,对称变换 标准正交基下的矩阵表示为实对称阵 实对称阵的性质 实对称阵的和、可交换的乘积、逆矩阵、相合变换后仍为实对称阵 实对称阵的特征值为实数 实对称阵正交相似于对角阵,矩阵A与B正交相似 存在正交阵P，使BP-1AP 一般实方阵的正交相似标准形 每个实方阵都正交相似于准上三角,规范阵 满足 的实方阵。 例如：正交阵、对称阵、反对称阵 规范阵的性质 相合变换后仍为规范阵 规范方阵正交相似于准对角,定正阵 满足 的实对称方阵S S是某个内积的度量矩阵 S的特征值全大于零 S=PTP，P的行向量正交 S=PTP，P是上三角阵 S=P2，P是定正阵 S的顺序主子式大于零,定正阵的性质 A定正、B定正AB的特征值都大于零 正交相抵标准形 每个实方阵都有