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文档简介

1 建立方程、定解条件,方程的导出 定解条件和定解问题 变分原理 分离变量法,1.方程的导出,本章研究调和方程（又称拉普拉斯方程）,以及泊松方程,的基本定解问题及解的性质。,(1.1),(1.2),(1) 引力位势,经计算可得：,直接计算可得：,还可进一步验证：,(2) 静电场的电位势,应用高斯公式，上式可改写为：,由区域G的任意性得：,静电场方程,由于静电场是无旋场，因而存在电势u，,从而静电场的电势u应当满足泊松方程,如果静电场的某一区域里没有电荷，即=0，则 静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程,(3) 稳定温度分布,2.定解条件和定解问题,(1) 第一边值问题（Dirichlet问题）,(2) 第二边值问题（Neumann问题）,(3) Dirichlet外问题,(4) Neumann外问题,注：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：,其它边界条件,(5) 第三类边界条件,(6) 等值面边界条件 （总流量边界条件）,3.变分原理,膜的平衡问题：,即：,(1),问题2的解答：,(3),(5),4.分离变量法求解Laplace方程,(1) 矩形区域上Laplace方程的第一边值问题,代入方程(1)得：,分离变量：,由此得 X，Y 满足得常微分方程：,由边界条件(2)知：,得固有值问题：,解之得：,通解为,其中Ak，Bk为任意常数。,因此,是满足方程(1)和边界条件(2)的解。,叠加所有的Uk ，即,代入边界条件(3)，得：,由傅里叶正弦展式的系数公式得,解得：,(2) 圆形区域上Laplace方程的第一边值问题,(3),(4),即：,由此得 R， 满足得常微分方程：,由周期性条件(4)得:,固有值问题的讨论：,(6),因此,是满足方程(1)和自然边界条件(3)以及周期性条件 (4)的解。,由叠加原理，满足(1)(3)(4)的解可表为：,代入边界条件(2)得：,故,代入级数得：,证明,(3) 圆形区域上热传导方程的混合问题,即：
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