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,9.8 距 离 (二）,3.两个平行平面的距离,和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。,两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。,A,B,C,A1,思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？ 有多少条公垂线？,已知异面直线AA1和BC， 直线AB与异面直线AA1，BC都垂直相交。,和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。,4.异面直线的距离,定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。,存在性：,a,b,P,a,Q,M,c,B,A,直线AB就是异面直线a,b的公垂线,唯一性：,假如还有直线AB也是a,b的公垂线，则,ABa ABb a/a ABa 所以 AB平面 又AB 平面 AB/AB 则 a,b共面 矛盾！,A,B,定理二：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。,a,b,A,B,C,D,两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离,a,a,b,A,A,d,E,F,l,m,n,例4 已知两条异面直线所成的角为 ，在直线 、 上 分别取 、 ，已知 ，求公垂线 段 的长度 。,解：,异面直线的距离公式：,6.已知正方体 ,说出下列各对棱所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：,AB与BC； AB与CC； AD与BB； CD与BC； AB与CD。,练 习,7. 如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D,E分别是OA,BC的中点，连结DE。 （1）求证：DE是OA和BC的公垂线。 （2）求OA和BC间的距离。,8. 正方体ABCDA1B1C1D1中，P为AB中点，Q为BC中点，AA1=a, O为正方形ABCD的中心，求PQ与C1O间的距离。,例5： 已知二面角-l-的大小是1200，A,C 且ABl,CDl，AB=CD=a, AC=2a, 求（1）BD的长； （2）BD和AC所成角的余弦值； （3）BD和AC的距离。,A,B,C,D,l,思考：已知正方体 的棱长为1，求异面直线 与 的距离。,求异面直线的距离的常用方法：,（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。,注意：（2）3）可进一步转化为点到平面的距离。,课堂小结：,（4）用模型公式,（5）向量方法：先求两异面直线的公垂线方向的向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长,空间距离补充例题,1.有关点到直线、点到平面距离的求法,M,O,转化思想
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