矩阵分析第三章课件

将类似的具有共同运算规律的数学对象进行一般的数学描述就得到抽象的线性空间。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。 线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。,而且这两种运算满足下面8条运算律：,对于平面 中的任意向量，我们已定义过加法及数乘两种运算，而且这两种运算是封闭的，即运算后的结果仍在 中。,一、从向量谈起,具有加法单位元（零向量） ，使得,具有加法逆元（负向量） ，使得,根据线性代数的知识，二维空间 显然可推广到 维向量空间 。并且数乘所依赖的实数域 也可推广到复数域 。相应的向量空间分别称为实向量空间和复向量空间。,我们知道，向量是特殊的矩阵。所有 阶的实矩阵的集合 对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。,不过这里的“向量”是实矩阵！,二、线性空间(Linear Space)的概念,定义1.1如果非空集合 对于加法及数乘两种运算封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那么就称集合 为数域 上的线性空间或向量空间：,例1.5齐次线性方程组 的所有解的集合构成数域 上的线性空间 ，称为 的解空间，或矩阵 的核空间或零空间，即,例1.6 所有矩阵向量积 的集合构成数域 上的线性空间 ， 称为矩阵 的列空间或值域，也称为矩阵 的像 ， 即,例1.7 集合 不是一个线性空间。因为加法不封闭。,例1.8 线性非齐次方程组 的解集,不构成线性空间，这里 是对应齐次方程组 的一个基础解系， 为 的一个特解。,三、线性空间的基本性质,如果 是数域 上的线性空间，则,线性空间 中的零向量 是唯一的。,线性空间 中的每个向量的负向量 是唯一的。,当 时，有 或,当 时，有,定义1.2 设 是线性空间 的非空子集。如果 在 中规定的加法和数乘运算下构成线性空间，则称 是 的（线性）子空间。,前述矩阵 的核空间 显然是 的子集，这说明线性空间的子集也可能是线性空间。,四、线性子空间(Subspace),例1.9 集合 是向量空间。它是 在 平面上的投影子空间。,例1.10 中过原点的直线是 的一个子空间。,定理1.1（子空间判别法）数域 上的线性空间 的非空子集 是 的子空间的充要条件是 对 中的两种运算都封闭，即,(i) 对任意的 ，有 (ii) 对任意的 ，有,判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子集是否为线性空间，就比较方便了。,例1.11 已知 是数域 上的线性空间， ，则集合,是 的一个子空间。称为由向量 所生成的子空间，记为,一般地，由线性空间 中的向量组 所生成的线性空间 记作,2、基、坐标及坐标变换,线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、基、坐标等的定义和结论都可以推广到一般线性空间。尤其是坐标，能够将一般线性空间的问题转化成向量空间的问题，是一个十分有力的工具。,一、线性空间的基(basis)、坐标(coordinate)和维数(dimension),定义2.1给定线性空间 ，如果存在 中的一组向量 ，满足： （1） 线性无关； （2） 中任意向量 都能由 线性表 示。即存在数 ，使 则向量组 就称为 的一个基，系数 就称为向量 在此基下的坐标，基中的向量个数 称为线性空间 的维数，记为,几点说明,（1）若把线性空间 看作无穷个向量组成的向量组，那么 的基就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的秩.,（2）若向量组 是线性空间 的一 个基，则 可表示为,（3）个数与线性空间 的维数相等的线性无关组都是 的基.,（4）不存在有限个基向量的线性空间称为无限维线性空间.,例2.1 向量空间 是复数域 上的二维空间，其基可取为 ，即,同时向量空间 也是复数域 上的一维空间，其基可取为 ，即,定理 2.1 数域 上的线性空间 中的任意向量在给定基下的坐标是唯一的。,定理 2.2 (基的扩张定理） 数域 上的 维线性空间 中的任意一个线性无关向量组 都可以扩充成 的一组基。,若不然即任意 ，都有 线性相关。这样 可由 线性表示，即 。与 的取法矛盾。,定理 2.2 的证明,则必有 ，使得,线性无关。,重复上述过程，直至得到 的基,例2.2 在线性空间 中，显然 是 的一组基，此时多项式 在这组基下的坐标就是,证明 也是 的基,并求 及 在此基下的坐标。,分析：,容易验证 线性无关，因此也是 的基。,由高等数学中的泰勒公式，可知,所以所求坐标分别为 和,二、基变换(change of basis)和坐标变换,定义2.2 设 和 是 维向量空间 的两个基，且存在可逆矩阵 ，使得,则称上式为基变换公式，矩阵 为基 到基 的过渡矩阵。对于向量空间 ，有,过渡矩阵是以新基的各向量在旧基下的坐标为列向量构成的矩阵。它一定是可逆的。,因此 线性相关。出现矛盾。所以 可逆。,设基 在基 下的坐标矩阵为 ，,若矩阵 不可逆，则以 为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解 ，因此,那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如何改变呢？,由基的定义，在 维向量空间 中，任意 个线性无关的向量都可以作为 的一组基。对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的,定理2.3 设 维向量空间 中元素 在基 与基 下的坐标分别为 ， 。 为基 到基 的过渡矩阵，则成立坐标变换公式：,即,证明：,因为坐标唯一，所以,由于,由于 可逆，所以也有,因为坐标唯一，所以,例 2.2（续）,由题， 在基 下的坐标为,而且，基 到基 的过渡矩阵为,所以,例 2.3 已知矩阵空间 的两组基：,求基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵。,解：,显然,引入 的标准基（因为四个元素可独立取值）,类似地，,则基 ( III ) 到基 ( I ) 的过渡矩阵为,类似地，可得基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为,所以,从而,因此基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为,3、子空间的交与和,整体有时太庞大，经常希望能够“通过部分来获知整体”。对线性空间的研究亦是如此。希望将一个高维线性空间分解为多个低维线性子空间的和甚至直和，并通过对线性子空间的研究，能够更加深刻地揭示整个线性空间的结构。,一、子空间的交(intersection)与和(sum),定理3.1 设 是数域 上线性空间 的两个子空间，则它们的交 也是 的子空间。,定理3.2 设 是数域 上线性空间 的两个子空间，则集合（称为 与 的和） 也是 的子空间。,定理1.1（子空间判别法）数域 上的线性空间 的非空子集 是 的子空间的充要条件是 对 中的两种运算都封闭，即,(i) 对任意的 ，有 (ii) 对任意的 ，有,判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子集是否为线性空间，就比较方便了。,（i) 交换律,可以验证，子空间的交与和具有下列运算律：,（ii ) 结合律,根据归纳法可知， 和 都是 的子空间。,例 3.1 设 是线性空间 的子空间，且 则,例3.2,设,求 的基与维数。,所以可令,设 ，则,故,解：,这是关于 的齐次方程组，即,因此,所以 的基为 ，维数为,解关于 的齐次方程组，得,由例 3.1 知,由前得,即,由于 线性无关，这样 是 的极大无关组，所以它是 的基，故,定理3.3 （维数公式）设 是数域 上线性空间 的两个有限维子空间，则它们的交 与和都是有限维的，并且,注意到例 3.2中,这并不是偶然的。,定理 3.3 的证明：,所以,取 为 的基，并分别扩充成 的基，即,设,则有,又,所以,从而可令,则,由于 线性无关，所以,因此,即,从而 线性无关，所以是 的一组基。于是维数公式成立。,再由 线性无关，所以,二、子空间的直和(direct sum),定义1 设 是数域 上的线性空间 的两个子空间，如果 则称 为 与 的直和，记作,显然直和的概念可以推广到多个子空间的情形。,在维数公式中，显然和空间的维数不超过各子空间的维数之和。那么何时等号成立呢？,定理3.4 设 是数域 上的线性空间 的两个子空间，则下列命题是等价的： （1） 是直和； （2） ； （3） 和 中零向量的表示法唯一，即若 则 （4） 和 中每个向量的表示法是唯一的。,注意：子空间的补子空间未必是唯一的，也就是说线性空间的直和分解未必是唯一的。例如若,显然， 是 的 一个子空间，几何上很容易看出， 和 都 是 的补子空间。,4、线性空间的同构,同构是线性代数的基本概念之一。如果仅仅从线性空间所依赖的运算，我们一般很难分辨同构的线性空间。所以同构将两个有可能形式完全不同的线性空间对应起来。更关键的是，将任意线性空间与n维实向量空间或复向量空间对应起来。从而将前者中的问题转化为后者中的问题。,一、同构映射(isomorphism)的概念,定义4.1设 是数域 上的两个线性空间，一一映射 称为 到 的同构映射，如果对 中的任意两个向量 和任意的 ，都有 （i) (可加性) (ii) (齐次性),则称 与 同构（isomorphic) ,记为,例 4.1 数域 上的 维线性空间,易证 是同构映射。,根据前面的分析，对映射 ，即,二、同构映射的性质,定理4.1 设 是数域 上的两个线性空间之间的同构映射，则 （i) (零向量到零向量) (ii) (负向量到负向量) （iii) (线性无关组到线性无关组) 中的向量组 线性无关的充要条件是 中的向量组 线性无关。,定理4.2 数域 上的任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。,这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。并且在同构的意义下，向量空间 并不只是线性空间 的一个特殊例子，而是所有的 维线性空间的代表。,一、线性变换(Linear Transformation)的概念,定义5.1设 是数域 上的线性空间，映射（未必是双射） 称为 上的线性变换或线性算子(Linear Operator ) ，如果对 中的任意两个向量 和任意的数 ，都有 （i) (可加性) (ii) (齐次性),并称 为 在 下的像（image），而 是 的原像（inverse image）。,5、线性变换及其矩阵表示,例5.1 由下式 确定的映射 是线性变换。,例5.2 在 中，作坐标的旋转变换,T是 的一个线性变换。,二、线性变换的基本性质,定理5.1 如果 是线性变换，则,零向量对应零向量,叠加原理,负向量对应负向量,定理5.2 如果 表示 上的所有线性变换的集 合，并且对任意,则可以验证， 都是线性变换，因此 也是数域 上的线性空间。,三、线性变换的矩阵表示,的基 映射为 。,维线性空间 上的线性变换 将,由于 仍然是基 的线性组合，所以令,因此,这里，矩阵 称为线性变换 (在基 下)的矩阵表示。,因此线性变换与方阵之间可以建立一一对应的关系。,例 5.3 中的投影变换 在基 下的矩阵为,例 5.4 中的微商变换 在基 下的矩阵为,例5.5 在矩阵空间 中定义线性变换：,求 在标准基（I ) 下的矩阵，这里,解：,所以 在标准基（I ) 下的矩阵为,因此原像与像 （在给定基下）的坐标变换公式为,证明：对 中的任意向量 ，显然其