同济大学微积分第三版课件第三章第六节.ppt

第六节 微积分基本定理,本节要点,本节通过积分上限函数, 证明了连续函数的原函数的,其中 为 的一个原函数.,存在性, 更进一步地得到微积分基本公式牛顿莱,伯尼茨公式,一、问题的提出,在上一节中, 我们看到: 物体在时间间隔 内经,但是, 这段路程又可视为位置函数 在区间 上,的增量 即,过的路程为速度函数在区间 上的定积分,又 即位移函数是速度函数的原函数, 所以上,值得提出的是: 该问题是否具有一般意义, 即: 若函,的定积分是否可以表达为它的原函数在区间 上的,述关系表示为速度函数 在区间 上的定积分等,于 的原函数 在区间 上的增量.,数 存在原函数 那么函数 在区间 上,增量, 即:,在第三目中我们将详细讨论这个问题.,首先我们讨论积分上限函数及其导数.,二、积分上限函数及其导数,设函数 则 在部分区间,定义了区间 上的函数,上可积, 由此积分,记为 即,这个函数称为积分上限函数或为变上限函数.,例如 则,在下图中, 红色三角形面积,中的定积分, 可见它是变元,即为函数 在 中,的函数, 面积函数为,x,1,y=x,定理1 如果函数 则积分上限函数,在 上可导, 并且其导函数为,证 若 取 的增量 并,使得 则,由此得到函数的增量,由积分中值定理, 得,其中 介于 与 之间, 故 又由于,为连续函数, 故,所以,此说明函数 可导, 且有,若 或 则以上的极限分别改为 或,就得到 与,定理1证明了连续函数的原函数的存在性. 并且积分上,限函数,是 的一个原函数.,例1 设,解 由求导公式, 得,求,定理1的更一般形式是：,定理 设函数 在某区间 上连续, 函数 及,注意到, 当 就是定理1的形式.,是 上的可导函数, 且,则,例2 设 求,解 由求导公式得,的导数.,例3 求由 确定的隐函数 对,解 方程两边对 求导, 则有,即,例4 当 为何值时, 函数,解 为求极值, 先求函数 的驻点. 因,显然有: 所以,是函数的极小值点. 又 故当 时,有极值？,函数有极小值,例5 求,解 原式是 型. 由罗必达法则, 原式为,三、牛顿莱布尼茨公式,定理2 如果函数 函数 是 的一个,证 因 与 都是 的原函数,原函数, 则,则,在上式中, 令 则有,又由于 可得 代入,在上式中令 则有,式, 则有,定理2建立了定积分与原函数之间的关系, 同时又为定,值得注意的是: 定理2的条件可降低为:,积分的计算提供了方法.,上面定理中的又经常写成,定理 设 并在 上存在原函数,证 在 插入 个分点，,从而把区间 分成 个小区间, 在区间 上使,则,用微分中值定理, 得,其中,则有,令 则有,又由于 可积, 由定积分的定义, 得,记,式说明 在 上的定积分为它的原函数,在 处各点处的微分的无穷积累.,例6 求,解 因函数 的原函数为 故由积分公式得,例7 求,解,例8 求,解,例9 设,解 当,求积分上限函数,在 上的表达式.,当,所以,例10 求极限,解 原式为,这里取 并将区间 等分, 取,为区间的左端点, 小区间的长度 又因函数,故积分与区间的分法和点的取法无关, 所,以,莱布尼茨小传,Gottfried Wihelm Leibniz was born in Leipzig in 1646 and studied law, theology, philosophy and mathematics at the university there, graduating with a bachelors degree at age 17. after earning his doctorate in law at age 20, Leibniz entered the diplomatic service and spent most of his life traveling to the capitals of Europe on political missions. In particular, he worked to avert a French military threat against Germany and attempted,to reconcile the Catholic and Protestant churches.,His serious study of mathematics did not begin until 1672 while he was on a diplomatic mission in Paris. There he built a calculating machine and met scientists, like Huygens, who directed his attention to the latest developments in mathematics and science. Leibniz sought to develop a symbolic logic and system of notation that would simplify logical reasoning. In particular, the version of calculus that he published in 1684 established the,the notation and the rules for finding derivatives that was used today.,Unfortunately, a dreadful priority dispute arouse in the 1690s between the follows of Newton and those of Leibniz as to who had invented calculus first. Leibniz was even accused of plagiarism by members of the Royal Society in England. The truth is that each man invented calculus independently. Newton arrived at his version of calculus first b