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文档简介

第二节 求导法则,本节要点,本节从函数导数的定义出发, 讨论各类函数的求导方,一、函数的四则运算的求导法则,二、反函数的求导法则,三、复合函数的求导法则,法, 主要内容有:,一、函数的线性组合、积、商的求导法则,设函数 在点 处可导, 考虑这两个函数的,1.设 , 则 可导, 且有,线性组合、积、商在点 处的导数.,事实上,2.设函数 , 则 可导, 且有,3.设 , 则 可导, 且,解,例1 求 的导数.,解,例2 求 的导数.,同理有,二、反函数的导数,设函数 在区间 内单调、连续, 则其反函,内单调, 连续: 若设 在区间 内可导, 且,今来讨论 的可导性.,给 以增量 由 的单,数 在对应的区间,调性知,变形得到,又由函数的连续性, 当 时必有 从而有,由此说明了函数 在 处可导, 且有,简单地说, 反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.,例3 求反正弦函数 的导数.,解 是 的反函数.,注意到在区间 内, 从而有,所以. 在区间 内点点可导, 且有,而 在区间 内单调、可导, 并且,例4 求反正切函数 的导数.,解 函数 是 在,区间内的反函数, 在区间内单调、可导, 且,所以 在 内每一点可导, 且有:,有,注意到： 从而有,同理可得其它几个反三角函数的导数公式:,例5 求对数函数 的导数.,解 是 的反,注意到, 从而有,特别地, 当 时, 有,函数, 且直接函数在定义域内单调、可导, 且,三、复合函数的导数,在众多的函数中, 我们遇见的更多的是复合函数. 例,如函数 , 这是一个极为简单的函数, 但我们,要求它的导数就没那么简单. 事实上, 由导数的乘积公,式, 得,对一个如此简单的函数, 求其导数都那么困难, 这就,提示我们有必要讨论复合函数的求导法则. 利用相应的,法则来简化某些复杂函数的导数计算.,复合函数求导法则 如果函数 在点 可导,证 设自变量 在 处有增量 , 则函数,而函数 在 处可导, 则复合函数,在 处可导, 并且有关系,有增量 相应地, 函数,有增量,当 时, 有,由函数 的可导性, 得函数在 是连续的, 因,又,此当 时, 有 由此得,由此得到:,注 此定理的证明是在条件 下取得的, 而当增,量为零时（这是可能出现的）, 上式不成立. 关于该公,式的进一步证明, 有兴趣的读者可以继续查看,（单击此处）,此公式可以作进一步的推广: 若,均为可导函数, 则相应的复合函数,的导数为,例6 求函数 的导数.,解 可以看成由 复合,而成, 故此由复合函数的求导公式, 得,例7 求函数 的导数.,解 由 得,例8 求函数 的导数.,解,例9 求 的导数:,解 由 则由复合函数的求导,公式, 得,例10 求函数 的导数.,解,例11 求函数,解,的导数.,所以,上例中的求导方法又称为对数求导法. 除了应用于幂,指函数外, 此方法还经常应用于多个函数连乘的情况.,例
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