正余弦定理复习.ppt

正弦定理、余弦定理,1正弦定理、余弦定理及相关知识,b2c22bccosA,c2a22cacosB,a2b22abcosC,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC,2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下,ABC中的常用结论 A+B+C= A、B、C成等差数列的充要条件是B60； S= abABsin Asin B；,【知识拓展】,在ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosAcosB0.简证如下：C有解(AB)有解0cos(B)cos Acos Bcos Acos B0.因此判断C是否有解，只需考虑cos Acos B的符号即可,(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，cos sin . (3)三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 (4)等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边,1(苏州市高三教学调研考试)在ABC中，A，B，C对应的三边长为a，b，c，若a2(bc)2bc，则A的大小等于_ 解析：根据余弦定理得cos A ， A 答案： 2(2010东台中学高三诊断)若ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量m(ac，ba)，n(ac，b)，若mn，则C等于_ 答案：60,3在ABC中，如果A60，c4，a2 ， 则此三角形有_个解 解析：A60，c4，a2 ， 由正弦定理得： ，即 sin C1.又0C180，C90，B30. 因此三角形只有一个解 答案：一,在ABC中，已知acos Abcos B，则ABC的形状为_ 解析：由已知acos Abcos B得 ，又由正弦定理，得 所以 ，整理得：sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B. 因为A、B为三角形内角，所以2A2B或2A2B， 所以AB或AB ，即ABC为等腰三角形或直角三角形 答案：等腰三角形或直角三角形,4,5(江苏省高考命题研究专家原创卷)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，sin A，sin B，sin C成等比数列，则该三角形的形状是_ 解析：由a，b，c成等差数列得2bac，由sin A，sin B，sin C成等比数列得sin2Bsin Asin C，所以由正弦定理得b2ac. ac，所以abc，所以三角形是等边三角形 答案：等边三角形,【例1】已知ABC中，sin Asin Bsin C ，求最大角 思路点拨：由三个角的正弦比，得出三边比，再判断哪个角最大， 然后运用余弦定理求解 解：由正弦定理，知 2R， abc 不妨设a 1，b 1，c ，由在三角形中大边对大角知， C最大由余弦定理，知cos C ，C120.,变式1：已知ABC中，abc2 1)， 求ABC中的各角的大小 解：设a2k，b k，c( 1)k(k0)， 利用余弦定理，有cos A A45.同理可得cos B ，B60. C180(AB)75.,这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、 角关系式转化为角或者边的简单关系式，进而进行判断 【例2】在ABC中，如果lg alg clg sin Blg ，且B为锐角，试判断此三角形的形状 思路点拨：先进行对数的运算，再将边化角即可,解：由lg alg clg sin Blg ，得sin B ， 又B为锐角，B45. 同时 ， . sin C2sin A2sin(135C)， 即sin Csin Ccos C， cos C0，所以C90.故此三角形为等腰直角三角形,变式2：在ABC中，已知sin C2sin(BC)cos B，那么ABC的形状是_ 解析：由sin C2sin(BC)cos B，得sin C2sin Acos B. 再结合正、余弦定理得： 整理得a2b2，所以ABC一定是等腰三角形也可由sin C2sin Acos B， 可得sin(AB)2sin Acos B，sin(AB)0，从而AB. 答案：等腰三角形,1这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也有着不同之处，如涉及到的关系式中除角外还可能涉及到边，因而转化方式有角的转化和边的转化 2三角形中三角函数的证明问题主要是围绕三角形的边和角的三角函数展开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题,【例3】在ABC中，证明： 思路点拨：等式左边有边也有角，右边只有边，故考虑把等式左边的角转化为边 证明：左边 右边故原命题得证,【例4】 在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长已知a、b、c成等比数列，且a2c2acbc，求A的大小及 的值 思路点拨：把已知条件a2c2acbc变形，构造余弦定理结构求出A的值，然后再利用正弦定理变形求出 的值,解：(1)a、b、c成等比数列，b2ac，又a2c2acbc， b2c2a2bc. 在ABC中，由余弦定理得cos A ，A60. (2)在ABC中，由正弦定理sin B ， b2ac，A60，,变式3：(2010北京海淀区高考模拟题)在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，且AB， 求证：ABC是直角三角形,证明：由已知得：a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB) 利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B. 由正弦定理得asin Bbsin A，acos Abcos B. 又由正弦定理得2Rsin Aa,2Rsin Bb， 2Rsin Acos A2Rsin Bcos B，即sin 2Asin 2B. AB，2A2B，AB .ABC是直角三角形,【规律方法总结】,1根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换 2用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内 角与应用向量的模求三角形边长等 3在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重 挖掘隐含条件 4注意体会函数与方程思想、等价转化思想的应用,【高考真题】,【例5】 (2009天津卷)在ABC中，BC ，AC3，sin C2sin A. (1)求AB的值；(2)求sin 的值 分析：根据正弦定理求AB的值，根据余弦定理求出A的余弦，根据倍角公式求出2A的正弦值、余弦值，再根据两角和、差的正弦公式 求sin 的值,解：由 ，得sin A ab，AB45，A为锐角或钝角，A60或A120. 当A60时，C180604575， c 当A120时，C1801204515， c,2已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，且a，b为ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断ABC的形状 分析：要判断三角形的形状，就要根据条件得出三角形中的边的关系或角的关系，由题意，先得到边角的关系式，然后再根据正、余弦定理来判断 解：设方程的两根为